Atps de algebra - sistema linear

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Anhanguera Educacional

Sistemas de Equações Lineares Trabalho Atps.

Disciplina: Álgebra linear
Turma: Engenharia de Mecânica;

Niterói-RJ- 04 junho de 2012
















Sistemas Lineares
• Equações Lineares
Uma equação linear em variáveis sobre o corpo é uma equação que pode ser colocada na forma , sendo que os escalaressão denominados coeficientes, e é chamado de termo independente, ou termo constante.
O termo b pode assumir qualquer valor real, caso b assuma valor igual a zero a equação linear será homogênea.
Solução de Equações Lineares
Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desseconjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade:
,deve ser verdadeira.

Resolução:

Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 10 nas suas respectivas incógnitas.

Como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (0, 1, 10) é solução da equação -2x + y+ 5z = 11
• Sistemas de Equações Lineares
Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

Solução de Sistemas Lineares
Podemos dizer que um sistema de equações lineares com “n” incógnitas, que podem ser colocadas como X1, X2, X3, X4...., admite como sua solução uma seqüência emordem definida como r1, r2, r3, r4, se e somente nesta condição, substituindo X1 = r1, X2 = r2, X3 = r3, X4, r4, Xn = rn, e em todas as equações do sistema informado, elas se tornarem todas verdadeiras.
Resolução:
Dado o conjunto solução (8, 4) e o sistema linear:

x + y = 12
x – y = 4

Para verificar se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 8 e 4 nas suas respectivasincógnitas.
( 8 ) + ( 4 ) = 12 (afirmação verdadeira)
( 8 ) – ( 4 ) = 4 (afirmação verdadeira)
No sistema abaixo:
X + y = 16
X – y = 2
Temos aqui uma solução igual a (7, 9), pois se substituindo x = 9 e y = 9 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:
( 7 ) + ( 9 ) = 16 (afirmação verdadeira)
( 7 ) – ( 9 ) = 2 (afirmação verdadeira)
Um sistema linear pode ter mais de uma solução ou mesmopode não possuir nenhuma solução.
Classificação dos Sistemas Lineares quanto ao Número de Soluções
No sistema:

Só encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
Já no sistema:

Verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),... são algumas de suas infinitas soluções.Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
No sistema:

Verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:
a) Sistema Possível e Determinado (solução única);
b) Sistema Possível e Indeterminado (infinitas soluções);c) Sistema Impossível (não tem solução).

Matriz dos Coeficientes
É a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A. Como mostra o exemplo abaixo:



Matriz Ampliada de um Sistema Linear
É a matriz formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes.Como no exemplo abaixo:



Regra de Cramer
A regra deCramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada nas resoluções de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
X1 = D1
D
X2 = D2
D
X3 = D3
D
Xn = Dn
D





Para resolver esse sistema por Cramer devemos encontrar a matriz...
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