Sistema de particulas

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1ºAula – Cap. 09 Sistemas de partículas
• • • • • Introdução Determinação do Centro de Massa, Centro de massa e simetrias, 2a Lei de Newton/sistema de partículas. Velocidade/Aceleração do centro de massa

Referência: • Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 09 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. • Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap. 08. 4a. ed. Riode Janeiro: LTC, 2000.

Movimento do Centro de Massa

O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.

Movimento do Centro de Massa

O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.

Movimento do Centro de Massa

O movimento dos sistemas acima é muitocomplicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.

Movimento do Centro de Massa

O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.

Centro de Massa
Há um ponto, denominado centro de massa do sistema, que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele, e as forças externasatuantes sobre o sistema estivessem agindo exclusivamente sobre ele.

O movimento de qualquer corpo, ou qualquer sistema de partículas, pode ser descrito em termos do movimento do centro de massa.
y m1 m2

M = m1 + m2

x

A coordenada do centro de massa é Xcm dada por: m1 x1 + m2 x2 Xcm =
_______________________

m1 + m2

Cálculo do centro de massa
xCM m1 x1 + m2 x2 Média ponderada dasposições, tendo as massas como pesos = m1 + m2

Exemplos: (a)

m1 = m2 ⇒ xCM

x1 + x2 = 2

xCM

x

(b)

m1 >> m2 ⇒ xCM ≈ x1

x

xCM (c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:

x1 < xCM < x 2
2/3 m x=0 xCM 1/3 x 2m x=L

xCM

m × 0 + 2m × L 2 = = L 3m 3

Exemplo de cálculo de centro de massa de um sistema de partículas

m1 = 1 kg x1 = 0 m y1 =0 m m2 = 2 kg x2 = 0 m y2 = 3 m m3 = 4 kg x3 = 4 m y3 = 0 m
0 ×1 + 0 × 2 + 4 × 4 = m = 2.3 m 1+ 2 + 4 0 ×1 + 3 × 2 + 0 × 4 = m = 0.9 m 1+ 2 + 4

xCM yCM

Centro de Massa: É a posição média de toda a massa do corpo ou sistema. Num corpo homogêneo e simétrico o centro de massa está no centro geométrico.

Exemplo: partículas de massas iguais formando um triângulo
m


m m

2m

m⇒ ⇒
Baricentro do triângulo: Interseção das medianas
1/3

CM

2/3

Centro de massa e simetrias:
• Se um corpo possui um ponto, uma linha ou um plano de simetria, o CM situa-se nesse ponto, linha ou plano. Linhas de simetria Centro de simetria

CM

CM Planos de simetria

Note que para que um ponto, linha ou plano seja de simetria, é preciso que, para cada elemento de massa, exista umoutro igual na posição simétrica em relação ao ponto, linha ou plano.

Note que o centro de massa pode cair numa região onde não há massa!

CENTRO DE GRAVIDADE

CENTRO DE GRAVIDADE de um corpo é o ponto de aplicação do seu peso. Corpos que admitam eixos de simetria, o centro de gravidade localiza-se na interseção destes eixos. Num campo gravitacional uniforme o CM coincide com o CG. Para placas planas e homogêneas o centro de gravidade pode ser determinado através da equação:

A1 x1 + A2 x2 Xcg =
y

A1 y1 + A2 y2 Ycg =
y

_______________________

_____________________

A1 + A2

A1 + A2

A1 A2 x x1 x2 x

Placas planas e homogêneas:

Determine as coordenadas ( xcg, ycg) do centro de gravidade da placa plana e homogênea da figura indicada.

Placas planas ehomogêneas:

A ordenada “y” do centro de massa de uma placa triangular, homogênea e de espessura constante é igual a um terço da altura (figura). Mostre que a ordenada do centro de massa de uma placa trapezoidal, homogênea e de espessura constante, em função da altura h do trapézio e de suas bases a e b pode ser dada por:

y cm

h ( 2a + b ) = 3 (a + b)

Placa Plana com orifício:

x...
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