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´
5. SEQUENCIAS e SERIES
Seq¨ˆncias e s´ries: Objetivos:
ue
e
Ao €nal do cap´
>tulo espera-se que o aluno seja capaz de:
1.

Reconhecer uma seq¨ˆncia e veri€car se:
ue

a.

´ convergente ou divergente;
e

b.

crescente ou decrescente;

c.

Propriedades de uma seq¨ˆncia;
ue

2.

De€nir s´ries num´ricas de termos positivos;
e
e

3.

Encontrar a soma de s´ries;e

4.

Identi€car as s´ries especiais: geom´trica, harmˆnica e p;
e
e
o

5.

Veri€car se ´ convergente ou divergente aplicando os crit´rios de cone
e

6.

Analisar a convergˆncia de s´ries alternadas e de sinal quaisquer;
e
e

7.

Reconhecer s´ries absolutamente e condicionalmente convergentes;
e

8.

Reconhecer s´ries de fun¸˜es;
e
co

9.

Encontrar o raio e ointervalo de convergˆncia das s´ries de potˆncias;
e
e
e

vergˆncia;
e

10

Desenvolver fun¸˜es em s´ries de Taylor e Maclaurin;
co
e

11.

Desenvolver fun¸˜es em s´ries binomiais;
co
e

12.

Resolver exerc´
>cios usando o Maple.

A prova ser´ composta por quest˜es que possibilitam veri€car se os objea
o
tivos foram atingidos. Portanto, esse ´ o roteiro para orienta¸˜es deseus estudos. O
e
co
modelo de formula¸˜o das quest˜es ´ o modelo adotado na formula¸˜o dos exerc´
ca
oe
ca
>cios e
desenvolvimento te´rico desse cap´
o
>tulo, nessa apostila.

5.1. Sequˆncias
e
Introdu¸˜o
ca
Neste cap´
>tulo estudaremos s´ries in€nitas, as quais s˜o somas que envolvem um n´mero
e
a
u
in€nito de termos. As s´ries in€nitas desempenham um papel fundamentaltanto na
e
matem´tica quanto na ciˆncia. elas s˜o usadas, por exemplo, para aproximar fun¸˜es
a
e
a
co
trigonom´tricas e logar´
e
>tmica, para resolver equa¸˜es diferenciais, para efetuar integrais
co
complicadas, para criar novas fun¸˜es e para construir modelos matem´ticos de leis
co
a

>sicas (Anton, 1999).
149

Na linguagem cotidiana, o termo sequˆncia signi€ca uma sucess˜o decoisas
e
a
em uma ordem determinada - ordem cronol´gica, de tamanho, ou l´gica, por exemplo.
o
o
Em matem´tica o termo sequˆncia ´ usado comumente para denotar uma sucess˜o de
a
e
e
a
n´meros cuja ordem ´ determinada por uma lei ou fun¸˜o.
u
e
ca
Estudaremos um tipo especial de fun¸˜o de€nida nos n´meros naturais N =
ca
u
{1 2 3 4 }, com imagem em R. Isto ´, estudaremos a fun¸˜oe
ca
ao limite e suas propriedades quando
( )=
(

2 +1

:N

:N

. A fun¸˜o
ca

R quanto
R de€nida por

´ um exemplo de seq¨ˆncia. O conjunto composto pelos pares ordenados
e
ue

( )) ´ dado por
e
= {(1

(1)) (2

(2)) (3

(3))

(

}

( ))

ou

1
2
3
) (2 ) (3 )
(
)
}
3
5
7
2 +1
´ denominado conjunto dos termos da sequˆncia ( ). Geralmente, oconjunto
e
e
= {(1

escrito de forma simpli€cada. Isto ´,
e

(2)

(3)

}={

()

Podemos observar que o termo

5
11

ocupa no conjunto dos termos da seq¨ˆncia
ue

N, ou seja,

( ) ´ determinada pelo elemento
e
= { (1)

1234 5
3 5 7 9 11

´ imagem de
e

conjunto dos termos. O termo ( ) =

2 +1

=

2 +1

o conjunto

}

2 +1

= 5, pois ocupa a quintaposi¸˜o no
ca

´ denominado termo geral da seq¨ˆncia. A
e
ue

forma usual de representar o termo geral de uma seq¨ˆncia ´
ue
e
ou

N de forma

´ representado pelas imagens de
e

que a posi¸˜o que determinada imagem de
ca

´
e

=

2 +1

, ou

=

2 +1

,

etc. Passaremos agora ` de€ni¸˜o formal de seq¨ˆncia. Nesse caso, temos
a
ca
ue
={

1

2

}.

3De€ni¸˜o 5.1. Sejam N = {1 2 3 4 } o conjunto dos naturais, R a reta real. Denomca
inamos seq¨ˆncia, a aplica¸˜o
ue
ca

:N

R.

Problema 5.2. Para melhor compreens˜o vamos supor que o crescimento di´rio de uma
a
a
linhagem de su´nos ´ dada em fun¸˜o do crescimento total pela seq¨ˆncia
>
e
ca
ue

=

+13

corresponde ao n´mero de dias de vida do su´no e lim
u
>
o tamanho de um...
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