Series de furier

S´ries de Fourier e Equa¸oes Diferenciais Parciais e c˜
Reginaldo J. Santos Departamento de Matem´tica-ICEx a Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi 22 de novembro de 2007

Sum´rio a
1 S´ries de Fourier e 2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Equa¸oes Diferenciais Parciais c˜ 2.1 Equa¸ao do Calor em uma Barra . . . . . . c˜ 2.1.1 Extremidades a Temperaturas Fixas 2.1.2 Barra Isolada nos Extremos . . . . . 2.2 Corda El´stica Com Extremidades Presas . a 2.2.1 Com Velocidade Inicial Nula . . . . . 2.2.2 Com Deslocamento Inicial Nulo . . . 2.2.3 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Equa¸ao de Laplace num Retˆngulo . . . . . c˜ a 2.3.1 Apenas k(y) N˜o Nula . . . . . . . . a 2.3.2 Apenas h(y) N˜o Nula . . . . . . . . a 2.3.3 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas dos Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 31 35 35 38 41 43 44 46 49 52 56

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´ SERIES DE FOURIER

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S´ries de Fourier e

Os conceitos de produto escalar e norma no Rn podem ser estendidos a certos espa¸os de c fun¸oes. c˜

Defini¸˜o 1. Seja CP[a, b] o conjunto das fun¸oes reais cont´ ca c˜ ınuas por partes f : [a, b] → R, considerando idˆnticas duas fun¸oes que diferem uma da outra apenas em um n´ mero e c˜ u finito de pontos. (a) Definimos o produto escalar ou interno das fun¸oes f e g pertencentes a CP[a, b], c˜ como b f, g = a f (t)g(t)dt.

(b) Para todo vetor f ∈ CP[a,