Sequencia e series

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
ˆ
INSTITUTO DE CIENCIAS
EXATAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
PROFESSORES: JOANA DARC E TATIANA
˜
AULA 7 - TUTORIA DE EQUAC
¸ OES
DIFERENCIAIS I

Quest˜ ao 1. Considere a sequˆencia
√
2,

2+

√
2,

2+

2+

√
2, ...

a) Determine a lei de recorrˆencia que define a sequˆencia.
b) Mostre que a sequˆencia ´e mon´otona.
c) Mostre que a sequˆencia ´e convergente.
d) Determine o limite da sequˆencia.

Solu¸c˜ ao: a) Temos
√
a1 = 2 a2 =

2+

√

2=

√

2 + a1
√
√
2 + 2 = 2 + a2

a3 = 2 +
..
.
√
an = 2 + an−1 , para n ≥ 2.

Logo a sequˆencia ´e definida recursivamente por

an =



 √

√

2,

n=1

2 + an−1 , n ≥ 2.

b) Mostremos que a sequˆencia ´e crescente. Usaremos indu¸ca˜o.
√
√
Temos a1 < a2 , pois a1 = 2 > 0 e a2 = 2 + a1 .
Suponha por indu¸ca˜o que an−1 < an . Mostremos que an < an+1 , para todo n ≥ 1.
√
√
Temos an = 2 + an−1 < 2 + an = an+1 , pois por hip´otese de indu¸ca˜o an−1 < an .
Portanto, a sequˆencia dada ´e mon´otona.
c) Agora mostraremos que a sequˆencia ´e limitada.
Como an < an+1 , para todo n ≥ 1, segue que

√ an < 2 + an ⇔ a2n < 2 + an ⇔ a2n − an − 2 < 0 (fazer o estudo do sinal da fun¸c˜ao f (an ) = a2n − an − 2) ⇔ −1 < an < 2, para todo n ≥ 1.
Logo a sequˆencia (an ) ´e limitada.
Pelo item (a), a sequˆencia ´e mon´otona, disso e do fato de ser limitada, pelo Teorema da Convergˆencia Mon´otona segue que a sequˆencia (an )n≥1 ´e convergente.
√
d) Como a sequˆencia ´e convergente lim an = L ∈ R. Al´em disso, an+1 = 2 + an , logo usando n→∞ propriedades de limite temos
L=

√

2 + L ⇔ L2 = 2 + L ⇔ L2 − L − 2 = 0 ⇔ L1 = −1 e L2 = 2.

Do fato da sequˆencia ser de termos positivos, segue que L = 2, ou seja, a sequˆencia converge para
2.

5n n + sen 2n

Quest˜ ao 2. Verifique se a sequˆencia

´e convergente. n≥1 
Solu¸c˜
ao: Temos que lim

n→∞

5n n + sen 2n


= lim  n→∞ 



5n
·
sen