Regra de Simpson Simples

Regra de Simpson (simples)

Tal como a Regra dos Trapézios, trata-se de outro exemplo de Fórmula de Newton-Cotes fechada, mas, ao invés de considerarmos a aproximação em cada sub-intervalo através de um polinómio interpolador do 1º grau (recta), podemos pensar numa aproximação um pouco melhor, considerando um polinómio interpolador do 2º grau (parábola). Para isso, ao considerarmos a regra de integração simples, precisamos de um ponto adicional, que será o ponto médio.

.
Neste caso,

n = 2 h = (b-a)/2 x0 = a x1= c = a+h x2 = b

a fórmula de integração será do tipo

I2( f ) = A0 f(a) + A1 f(c) + A2 f(b)

e podemos obter os pesos A0, A1, A2, resolvendo o sistema linear

. ou através dos polinómios de Lagrange:
.
Obtemos, assim, a Regra de Simpson (simples):

S( f ) = I2( f ) = ( f (a) + 4 f (c) + f (b) ) h / 3

--------------------------------------------------------------------------------

Erro da Regra de Simpson (simples)
Neste caso, usamos um polinómio interpolador do 2º grau, e sabemos da fórmula do erro de interpolação que: f (x) - p2 (x) = f [ a, b, c, x ] (x - a) (x - b) (x - c)

portanto

.

No entanto, aqui não podemos aplicar directamente o teorema do valor intermédio para integrais, porque (x-a)(x-b)(x-c) muda de sinal no intervalo [a, b].

Introduzindo um ponto auxiliar d pertencente ao intervalo [a, b], podemos usar a definição de f [ a, b, c, d, x ] para obter

f [ a, b, c, x ] = f [ a, b, c, d ] + f [ a, b, c, d, x ] ( x - d )

Substituimos esta expressão no integral, como

obtemos, fazendo d tender para c, e aplicando o teorema do valor intermédio para integrais, porque (x-a)(x-b)(x-c)2 já não muda de sinal no intervalo [a, b]:

admitindo que a função f está, pelo menos, em C4[ a, b ]. (Observamos que a repetição dos nós nas diferenças divididas leva a expressões mal definidas, que são indeterminações, pelo que esta notação só faz sentido como um limite, sabendo que a função f é