Integração

INTEGRAÇÃO

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1. REGRA DOS TRAPÉZIOS
Neste capítulo vamos estudar métodos para aproximar a função primitiva F, resultante de integrar uma função conhecida f. Poderíamos encarar este problema numa perspectiva geral, em que o objetivo seria aproximar uma solução de uma equação diferencial, já que este caso corresponde a encontrar F tal que F' = f.
Mais concretamente, basta-nos concentrar na integração de uma função f num certo intervalo [a, b]. A ideia base é aproveitar a aproximação por interpolação polinomial, para obter uma aproximação razoável da função integrada através de polinômios, que são funções fáceis de integrar.
Um exemplo simples é aproximar a função por retas interpeladoras nos pontos a e b,

1.1 REGRA DOS TRAPÉZIOS SIMPLES
Para a determinação da regra dos trapézios, é utilizado o polinômio de Gregory-Newton do 1º grau, ou seja, uma reta. Neste caso, consideramos n=1 e temos dois nós de integração: x0 = a, x1 = b, e obtemos para os valores dos pesos: A0 = A1 = ( b - a ) / 2
Temos assim a Regra dos Trapézios (simples):
T( f ) = ( f(a) + f(b) ) ( b - a ) / 2
Que corresponde exatamente ao valor da área do trapézio definido pela reta interpeladora!

1.1.1 ERRO DE TRUNCAMENTO
Pretendemos agora determinar majorações para o valor absoluto do erro:
E( f ) = I ( f ) - T ( f )
Sabemos que:
E( f ) = I ( f ) - T ( f ) = I ( f ) - I ( p1 ) = I ( f - p1 )
Da fórmula do erro de interpolação temos f (x) - p1(x) = f [ a, b, x ] ( x - a ) ( x - b )
E como ( x - a ) ( x - b ) não muda de sinal no intervalo [a, b] podemos aplicar o Teorema do Valor Intermédio para Integrais e obtemos 

b a f[a, b, x] (x-a)(x-b) dx = f[a, b, ]



b a (x-a) (x-b) dx, para certo x Î[a, b]

E supondo que f é C2[a, b], obtemos a fórmula do erro:
E( f ) = -
(b-a)3

12 f '' (), para certo [a, b]

1.2 REGRA DOS TRAPÉZIOS COMPOSTA

Como é claro, se usássemos a regra dos trapézios