Prova eda ufmg

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
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INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
EQUACOES DIFERENCIAIS A
¸˜
Hor´rio: 11:10-12:50 - 20/11/2003 a 2a. Avalia¸ao c˜ 1. Mostre que y1 (x) = x3 ´ solu¸ao da equa¸ao diferencial e c˜ c˜ 2x2 y − xy − 9y = 0.
Encontre uma fun¸ao u(x) tal que y2 (x) = u(x)y1 (x) seja solu¸ao da equa¸ao dada. c˜ c˜ c˜ Prove que as duas solu¸oes y1 (x) e y2 (x) s˜o solu¸oes fundamentais. c˜ a c˜ Link para a solu¸ao. c˜ 2. Determine os seis primeiros termos da solu¸ao em s´rie de potˆncias do seguinte c˜ e e problema de valor inicial
(2 + x2 )y − xy + 4y = 0 y (0) = 1, y (0) = 0
Link para a solu¸ao. c˜ 3. Uma mola, de um sistema massa-mola sem amortecimento, tem constante igual a
3 N/m. Pendura-se na mola uma massa de 2 kg e o sistema sofre a a¸ao de uma c˜ for¸a externa de 3 cos(3t). Determine a fun¸ao que descreve o movimento da massa c c˜ em qualquer instante t.
Link para a solu¸ao. c˜ 4. Encontre a solu¸ao geral da equa¸ao c˜ c˜ y + 5y + 6y = xe−5x .
Link para a solu¸ao. c˜ 1

Solu¸ao c˜ 1.
(a)
2x2 y1 − xy1 − 9y1 = 2x2 (6x) − x(3x2 ) − 9x3 = 12x3 − 3x3 − 9x3 = 0
Logo, y1 (x) = x3 ´ solu¸ao da equa¸ao. e c˜ c˜ (b) Seja y1 (x) = x3 . Vamos procurar uma segunda solu¸ao da equa¸ao da forma c˜ c˜ y (x) = v (x)y 1 (x) = v (x)x 3 .
Como
y ( x ) = v ( x ) x 3 + 3v ( x ) x 2

e

y (x) = v (x)x3 + 6v (x)x2 + 6v (x)x, ent˜o y (x) ´ solu¸ao da equa¸ao se, e somente se, a e c˜ c˜
2x2 y − xy − 9y = 0
2x 2 ( v ( x ) x 3 + 6v ( x ) x 2 + 6v ( x ) x ) − x ( v ( x ) x 3 + 3v ( x ) x 2 ) − 9v ( x ) x 3 = 0
2x5 v (x) + 11x4 v (x) = 0.
Seja w(x) = v (x). Ent˜o a equa¸ao acima pode ser escrita como a c˜
2xw + 11w = 0.
Esta ´ uma equa¸ao de 1a. ordem separ´vel. e c˜ a 2

w
11
+
=0
w x d
(2 ln |w| + 11 ln |x|) = 0 dx ln x11 (w(x))2 = c1
˜
w(x) = v (x) = c1 x−11/2
Resolvendo a equa¸ao para v (x): c˜ v (x) = c 1

2 x−11/2 dx = −c1 x−9/2 +