Prova eda ufmg

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
ˆ
INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
EQUACOES DIFERENCIAIS A
¸˜
Hor´rio: 11:10-12:50 - 20/11/2003
a

2a. Avalia¸ao

1. Mostre que y1 (x) = x3 ´ solu¸ao da equa¸ao diferencial
e


2x2 y − xy − 9y = 0.
Encontre uma fun¸ao u(x) tal que y2 (x) = u(x)y1 (x) seja solu¸ao da equa¸ao dada.



Prove que as duassolu¸oes y1 (x) e y2 (x) s˜o solu¸oes fundamentais.

a

Link para a solu¸ao.

2. Determine os seis primeiros termos da solu¸ao em s´rie de potˆncias do seguinte

e
e
problema de valor inicial
(2 + x2 )y − xy + 4y = 0
y (0) = 1, y (0) = 0
Link para a solu¸ao.

3. Uma mola, de um sistema massa-mola sem amortecimento, tem constante igual a
3 N/m. Pendura-se na mola uma massade 2 kg e o sistema sofre a a¸ao de uma

for¸a externa de 3 cos(3t). Determine a fun¸ao que descreve o movimento da massa
c

em qualquer instante t.
Link para a solu¸ao.

4. Encontre a solu¸ao geral da equa¸ao


y + 5y + 6y = xe−5x .
Link para a solu¸ao.


1

Solu¸ao


1.
(a)
2x2 y1 − xy1 − 9y1 = 2x2 (6x) − x(3x2 ) − 9x3 = 12x3 − 3x3 − 9x3 = 0
Logo, y1 (x) = x3´ solu¸ao da equa¸ao.
e


(b) Seja y1 (x) = x3 . Vamos procurar uma segunda solu¸ao da equa¸ao da forma


y (x) = v (x)y 1 (x) = v (x)x 3 .
Como
y ( x ) = v ( x ) x 3 + 3v ( x ) x 2

e

y (x) = v (x)x3 + 6v (x)x2 + 6v (x)x,
ent˜o y (x) ´ solu¸ao da equa¸ao se, e somente se,
a
e


2x2 y − xy − 9y = 0
2x 2 ( v ( x ) x 3 + 6v ( x ) x 2 + 6v ( x ) x ) − x ( v ( x ) x 3+ 3v ( x ) x 2 ) − 9v ( x ) x 3 = 0
2x5 v (x) + 11x4 v (x) = 0.
Seja w(x) = v (x). Ent˜o a equa¸ao acima pode ser escrita como
a

2xw + 11w = 0.
Esta ´ uma equa¸ao de 1a. ordem separ´vel.
e

a
2

w
11
+
=0
w
x

d
(2 ln |w| + 11 ln |x|) = 0
dx
ln x11 (w(x))2 = c1
˜
w(x) = v (x) = c1 x−11/2
Resolvendo a equa¸ao para v (x):

v (x) = c 1

2
x−11/2 dx = −c1 x−9/2 +c2
9
2

Tomando-se c2 = 0 e c1 = −9/2 obtemos v (x) = x−9/2 e uma segunda solu¸ao

da equa¸ao ´
c˜ e
y2 (x) = v (x)y1 (x) = x−9/2 x3 = x−3/2
Vamos ver que y1 (x) = x3 e y2 (x) = x−3/2 s˜o solu¸oes fundamentais da
a

equa¸ao.

y 1 (x) y 2 (x)
y 1 (x) y 2 (x)

W [y1 , y2 ](x) = det

= det

x3
x−3/2
3x2 − 3 x−5/2
2

9
= − x1/2 = 0, para x = 0
2
Link para a pr´ximaquest˜o.
o
a
2. Substituindo-se y (x) = ∞ an xn , y (x) = ∞ (n + 1)an+1 xn e
n=0
n=0
y (x) = ∞ (n + 2)(n + 1)an+2 xn na equa¸ao, obtemos

n=0

2


n

(2 + x )

(n + 2)(n + 1)an+2 x − x
n=0

(n+2)(n+1)an+2 x +x

2

n=0



(n+2)(n+1)an+2 x −

an x n = 0

+4
n=0



(n+2)(n+1)an+2 xn +



(n+2)(n+1)an+2 xn+2 −
n=0

n=0

an x n = 0

nan xn + 4
n=1n=2

an x n = 0





n(n − 1)an xn −

(n + 2)(n + 1)an+2 xn +
n=0

(n+1)an+1 xn+1 +4
n=0





2

(n+1)an+1 x

n+1

n=0



n=0



n

n=0



2

n=0


n

an x n = 0

(n + 1)an+1 x + 4
n=0



2


n

n=0



[2(n + 2)(n + 1)an+2 + n(n − 1)an − nan + 4an ]xn = 0

4a2 + 4a0 + (12a3 + 3a1 )x +
n=2

O que implica em

 4a2 + 4a 0 = 0
12a3 + 3a1 = 0

2(n + 2)(n + 1)an+2 + n(n − 1)an − nan + 4an = 0, n = 2, 3, . . .

 a 2 = −a 0
a3 = − 1 a1
4
2 −2n+4

n−2)2
an+2 = − 2(n +2)(n+1) an = − 2(n(+2)(n+1) an , n = 2, 3, . . .
n
3

1
a6 = − 30 a0 , · · ·

1
a,
60

a4 =

7
a1 ,
160
Substituindo-se os valores an encontrados acima, na s´rie de y (x) obtemos
e
a5 =




n

y (x) =

anx =
n=0



a2k x
k=0

2k

a2k+1 x2k+1 =

+
k=0

1
1
75
1
x + ···
= a 0 1 − x 2 + x4 − x6 + · · · + a 1 x − x3 +
6
30
4
160
7
2
3
y ( x ) = a 0 − 2x + x 3 + · · · + a 1 1 − x 2 + x 4 + · · ·
3
4
32
y (0) = 1 = a0

y (0) = 0 = a1

Assim, a solu¸ao do problema de valor inicial ´

e
1
1
y (x) = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + · · ·
6
30
Link para a pr´xima...
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