Probabilidade

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Probabilidade e Estatística - Nota de Aula


Mediana [pic]

A mediana corresponde ao valor que ocupa a posição central numa sequência de números e é representada por [pic]. Supor uma sequência numérica [pic], o elemento [pic] representa a mediana [pic], caso o número de elementos que o antecedem for igual ao número de elementos que o sucedem. Atenção às situações apresentadas, a seguir:Situação 1: dados não agrupados (dados brutos ou rol)

Para os dados não agrupados, primeiro organizamos a sequência numérica em ordem crescente ou decrescente. Depois, verificamos se a amostra é par ou ímpar e adotamos os seguintes procedimentos:

• se [pic] é ímpar, temos que o rol admite apenas um termo central ocupando a posição: [pic]. O valor do elemento que ocupa esta posição é amediana;

• se [pic] é par, temos que o rol admite dois termos centrais: [pic]. O valor da mediana será expresso através da média, destes dois termos centrais.

Exemplo: (Para [pic] ímpar). Supor uma amostra representativa da seguinte sequência numérica: 6, 14, 10, 4, 18, 15, 5, 17 e 12. Encontre a mediana [pic].

Solução:

Primeiro, colocar os valores em ordem crescente: 4, 5, 6, 10, 12, 14,15, 17, 18.
Como [pic] temos, [pic]. Logo, o valor na sequência numérica que representa o 5º elemento, em ordem crescente, é o valor 9.. Portanto, [pic].

Exemplo: (Para [pic] par). Seja a sequência numérica: 4, 12, 9, 1, 17, 14, 5, 15, 8 e 3.

Solução:

Sempre ordenar os valores. Assim, em ordem crescente, temos: 1, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 14, 15, 17.
Como [pic], temos [pic]. Logo, a medianaapresenta-se entre o 5º e 6º elementos, ou seja, 8 e 9. Portanto,

[pic].


Situação 2: dados agrupados sem intervalos (variável discreta)

Exemplo: Fornecida a amostra: 10, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 18 e 18. Encontre a mediana.

Solução:
|[pic] |[pic] |[pic] |
|10 |1 |1 |
|12 |2 |3 |
|13 |1 |4 |
|14 |2|6 |
|15 |1 |7 |
|18 |2 |9 |
|Total |9 |- |

Como [pic] temos, [pic]. Logo, o 5º elemento, em ordem crescente, representa o valor 14. Portanto, [pic].

Situação 3: dados agrupados com intervalos (variável contínua)

Exemplo: fornecida a tabela, a seguir, apresente, detalhadamente, o cálculo da mediana. Interprete oresultado obtido.

Tabela 7 – Situação 3 da mediana
|Classe |Amostra |[pic] |[pic] |
|1 | 0 --- 3 |2 |2 |
|2 | 3 --- 6 |5 |7 |
|3 | 6 --- 9 |8 |15 |
|4 | 9 --- 12|3 |18 |
|5 |12 --- 15 |1 |19 |
|Total [pic] |- |19 |- |

Solução:
[pic]

em que,

[pic]: denota o limite inferior da classe da mediana;
[pic]: total de itens;
[pic]: denota a freqüência acumulada anterior à classe da mediana, ou seja, a soma dos valores de[pic] anteriores à classe da mediana;
[pic]: denota a amplitude da classe mediana;
[pic]: denota a freqüência da classe da mediana.

Assim, [pic] (10º elemento). A seguir, identificamos a classe da mediana através da fac e, como podemos observar, o 10º elemento pertence à 3ª classe. Aplicando-se a expressão anterior, temos,

[pic]

Portanto, concluímos que 50% dos valores da sérieapresentam-se menores, ou iguais a 9,94, e 50% dos valores da série são maiores ou iguais a 9,94.



Medidas separatrizes

As medidas separatrizes representam números reais que separam o rol ou a distribuição de frequências em partes iguais. Assim, a mediana que divide a sequência ordenada em duas partes, cada uma delas contendo 50% dos valores da sequência, é também uma medida separatriz.

Além da...
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