Pa e pg

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Introdução





Na vida moderna, inúmeras são as aplicações dos conceitos matemáticos.
Conteúdos ensinados em salas de aula ganham grande importância, na medida em que são utilizados no dia a dia, nas mais diversas situações.
Quando se estuda as seqüências numéricas, com particular interesse pelas chamadas progressões aritméticas e geométricas, verifica-se essautilização prática da Matemática.
O presente trabalho tem o objetivo de apresentar, de maneira clara e objetiva, os conceitos de seqüência, progressão aritmética e progressão geométrica.




















Sequência ou Sucessão Numérica


Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, oconjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.
Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma: (a1, a2, a3, ... ,ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).
Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja, é possível escrever uma relaçãomatemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente. Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácildeterminá-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).
Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.








Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüêncianumérica, cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)


Termo Geral de uma PASeja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:
an = a1 + (n – 1) . r


A expressão an = a1 + (n – 1) . ré denominada termo geral da PA. Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:
Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000...
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