Numeros complexos

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Representação Algébrica
Um número complexo representa-se por z = x+yi com x, y R.
* Diz-se que:
* a é a parte real de z e escreve-se Re(z) = a;
* b é a parte imaginária de z e escreve-se Im (z) = b.
* O complexo z é um número real se e só se Im(z) = 0.
* O complexo z é um imaginário puro se e só se Re (z) = 0 e Im(z) 
* O complexo z é nulo se e só seRe (z) = Im (z) = 0. 
A representação geométrica dos complexos é feita num referencial cartesiano, em que se fixa o eixo das abcissas para o conjunto R e o eixo das ordenadas para o conjunto I.
Assim, a cada complexo z = a + ib, corresponde o ponto do plano P(a, b), que se designa por afixo de z. Pode-se, também, considerar o complexo z como o vector OP, sendo O a origem do referencial.

Aoreferencial com estas características dá-se o nome de Plano Complexo.
 
Representação Trigonométrica
A representação trigonométrica dos números complexos é um caso particular da utilização das coordenadas polares.
Na representação trigonométrica, um número z é determinado pela norma do vector que o representa e pelo ângulo que faz com o semieixo positivo das abcissas.

Aoângulo  chama-se argumento de z e a  dá-se o nome de módulo de z, com z = a + ib. Portanto: 
 = arg(z) e  = (a2+b2).
Sendo  o argumento de z, +2k também o será. Assim chama-se argumento principal ao  tal que: -    
A partir das relações trigonométricas obtêm-se:
 cos  = a/ sen  = b/a = cos , b = sen Portanto:
z = a + bi z = cos + (sen )i  z = (cos + i sen )
A (cos + i sen ) dá-seo nome de cis   e podemos escrever z =  cis 
Da relação tg= b/a consegue-se o valor de : é tal que tg= b/a. 

Igualdade de Números Complexos
Dados dois complexos z = a + ib e w = c + id tem-se:
z = w   a = c  b = d
Na forma trigonométrica sendo  z = (cos + i sen ) e w (cos+  isen), será:
z = w  cos= cos  sensen

 
Simétrico de um Número ComplexoO simétrico do número complexo z = a + ib é o número -z = -(a + ib), ou seja -z = (-a) +  i(-b). 
Corresponde a uma rotação de 180º do afixo de z em torno da origem.
Em notação trigonométrica, o simétrico de  z = cis  é  -z = [-cos(-) + isen(-)].            
| Re(-z) = -Re z
Im(-z) = -Imz
|-z| = |z|arg(-z) =arg z- |
Conjugado de um Número Complexo
O conjugado do complexo z = a + ib é o númerocomplexo denotado por z = a - ib.
Na forma trigonométrica, o conjugado de z = cis  é z = cis (-
Corresponde a uma reflexão do afixo de z na recta das abcissas.
| Re z = Re z
Im z = -Im z
|z| = |z|
arg z = -arg z |
Inverso de um Número Complexo
Sendo z = a + bi (0), o seu inverso é  z -1 = (a - bi)/(a2 + b2)   
Na representação trigonométrica, o inverso de z = cis éz -1 =  -1cis(-).

Quatro Operações com Complexos
Consideremos os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di ou, na forma trigonométrica, 
z1 = cis e z2 = cis
* Adição
Algebricamente, a soma é na forma:  z1 + z2 = a + c + (b + d)i
Na notação trigonométrica não há como simplificar.
De notar que, se z e w forem dois complexos: z + w = w + z.

Considerando os números como vectores,geometricamente, a soma de complexos não passa da soma dos vectores que os representam pela "regra do paralelogramo".
* Subtracção
A subtracção de z1 por z2 não é mais que a soma de z1 com o simétrico de z2, ou seja,   
z1 - z2 = z1 + (-z2).

Geometricamente, considerando os números como vectores, a subtracção corresponde à adição do primeiro vector com o simétrico do segundo vector.
* Produto
Oproduto de z1 por z2 é o número complexo z1.z2 = (ac - bd) + (ad + cb)i, ou, na forma trigonométrica  z1.z2 = cis(+ 
Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois complexos, z1 = a + ib e z2 = c + id. Esta operação não corresponde, directamente, a nenhuma operação conhecida entre vectores.
Suponhamos que z2 é um número real, isto é, que d = 0; então o produto de...
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