MÉTODO DE CHOLESKY

MÉTODO DE CHOLESKY
Dada uma matriz simétrica, ou seja, na qual os elementos acima e abaixo da diagonal principal são coincidentes, fazendo com que a sua transposta seja igual à matriz original, é possível aplicar o Método de Cholesky, desde que esta matriz também seja positiva e definida.
Considere o sistema:
10X1+7X2+8X3+7X4 = 32
7X1+5X2+6X3+5X4 = 23
8X1+6X2+10X3+9X4 = 33
7X1+5X2+9X3+10X4 = 31
Sabe-se então que:
10 7 8 7 32
7 5 6 5 X = 23
8 6 10 9 33
7 5 9 10 31

Assume-se a primeira matriz (A) como da forma: a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
Como a matriz inicial é simétrica, positiva e definida, pode-se simplificar os cálculos do Método de Decomposição por LU, calculando-se GGt, sendo G uma matriz triangular inferior com diagonal positiva. Logo: g11 0 0 0
G = g21 g22 0 0 g31 g32 g33 0 g41 g42 g43 g44
Os termos de G são dados como: g11 =  =  g21 = a21/g11 =  g22 =  =  =  g31 = a31/g11 = 8/ = 4 g32 =  – (g21xg31)] =  – (x)] =  =  g33 =  =  =  =  g41 =  = 7/ = 7 g42 = [a42 – (g41xg21)] = [5 – (x)] = )] =  g43 = [a43 – (g31xg41)- (g32xg42)] = [9 – (x) - (x)] = [9 –  – ] = 3 g44 =  =  =  =  = 
Então, fica:  0 0 0 32   0 0 23    0 33   3  31
Assim:
Y1 =  = 
Y2 = 23 -  x  = 23 -  =  = 
Y3 = 33 –  x  –  x  = 33 -  -  =  = 
Y4 = 31 -  x  -  x  - 3 x  = 31 -  -  -  =  = 
E a Gt será:

X4 =  = 1; X3 = - 3 x 1 +  =  = 1
X2 = -  x 1 -  x 1 +  =  = 1; X1 = -  x 1 -  x 1 -  x1 +  =  = 1
Então:
10X1+7X2+8X3+7X4 = 32
7X1+5X2+6X3+5X4 = 23
8X1+6X2+10X3+9X4 = 33
7X1+5X2+9X3+10X4 = 31
O Método de Gauss com Pivoteamento Parcial
1) O elemento akk(k) é o pivot do Kº passo.
2) Se em algum passo K encontrarmos akk(k) = 0, isso significa que