Funções Lu e Cholesky

Método de LU

Teorema (Teorema LU): Sejam A= (aij) uma matriz quadrada de ordem n, Ak o menor principal, constituídos das k primeiras linhas e k primeiras colunas de A. Assumimos que det(Ak) ≠ 0 para k = 1, 2, ..., n-1. Então, existe uma única matriz triangular inferior L = (lij), com l11 = l22 = ... = lnn = 1, e uma única matriz triangular superior U = (uij), tal que LU = A. Além disso, det(A) = u11u22...unn.

Esquema Prático para a decomposição LU
Podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que a matriz A seja igual a LU.

Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U, devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos das colunas de L, ou seja, multiplicando as linhas de L pelas colunas U e igualando com os elementos de A, Obtendo assim a fórmula geral:
Aplicação à solução de Sistemas Lineares
Seja o sistema linear Ax = b de ordem n determinado, onde A satisfaz as condições da decomposição LU. Então, o sistema Ax = b pode ser escrito como:
LUx = b.
Portanto, transformaremos o sistema linear Ax=b no sistema linear equivalente Lux=b, cuja solução é facilmente obtida. De fato, fazendo Ux = y, a equação anterior reduz-se a Ly = b. resolvendo o sistema linear triangular inferior Ly = b, obtemos o vetor y. Substituindo o valor de y no sistema linear Ux = y, obtemos um sistema linear triangular superior cuja solução é o vetor x que procuramos.
Método de Cholesky

Corolário: Se A é simétrica, positiva definida, então A pode ser decomposta unicamente no produto GGt, onde G é matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos.

Esquema Prático para a decomposição GGt
Do mesmo modo que na da decomposição LU para obtermos a matriz G, aplicamos a definição de produto e igualdade de matrizes. Seja então:
Portanto, obtemos a formula geral:

Aplicação à solução de Sistemas Lineares
Seja o sistema Ax = b de ordem n determinado, onde A satisfaz as condições do processo de