Mudança de base - logaritmo

Logaritmos – Mudança de base

Existem alguns casos de cálculos ou operações que envolvem logaritmos em que se faz necessária uma transformação de base, ou seja, transformar a base do logaritmo em outra, para facilitar as operações.
A regra utilizada para mudança de base é:

Ou seja, se tivermos um logaritmo na base b, podemos transformar em uma fração de logaritmos em outra base qualquer c.

Demonstração (Provando a propriedade)
Podemos provar essa propriedade partindo da fração. Vamos igualar a fração a x e encontrar o valor de x.

Vamos aplicar uma base c de potência nos dois lados da igualdade:

Agora podemos aplicar a 4° conseqüência da definição no lado esquerdo e rescrever a potência do lado direito:

E aplicar novamente a 4° conseqüência, agora no lado direito:

Com a equivalência fundamental:

Que é exatamente o valor que queríamos chegar.

Exemplo 01
Seja o logaritmo de 45 na base 3: . Mudando para a base 7, teremos: Poderíamos ter colocado qualquer outra base c no lugar do 7.
Exemplo 02
Sabendo-se que log10 2 =0,301 e log10 3=0,477 , pede-se. Calcule o valor de Log9512.

Podemos escrever que;
Log9512= log10512/log109

Calculando separadamente, temos;
Log 10512= Log 1029= 9 x log102 =9x0, 301=2,709
Log109= Log1032= 2xlog103=2x0, 477=0, 954

Reescrevendo (Efetuando o quociente);
Log9512= 2,709/0,954 =2,839(Resultado aproximado).

Exemplo 03
Calcule pela mudança de base o valor de Log464

Podemos escrever que;
Log464 = log2 64 / log2 4

Calculando separadamente, temos;
Log264 = 2x = 26; x=6
Log 24 = 2x = 22; x=2
Portanto, x =6/2 = 3

Para provarmos essa técnica poderíamos conferir a resposta pela definição do logaritmo, sendo 64 um múltiplo de 4, sua forma fatorada é 64= 43
Portanto Log464 = x ; 4x=43, x=3

Consequências (Ferramentas utilizáveis no cálculo de expressões quem envolvam logaritmo)

1ª Consequência:
Essa conseqüência diz que, ao invertermos um logaritmo, devemos trocar a base e o