Movimento 2 e 3 ds

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Parte 1 – Movimento em 2 ou 3 dimensões

Nesta aula, continuaremos a estudar a parte da física que analisa o movimento, mas agora podem ser em duas ou três dimensões.

1 - Posição e Deslocamento
A localização de uma partícula pode ser especificada através do vetor posição r , um vetor que liga um ponto de referência (em geral a origem de um sistema de referência) à partícula. Sendo:
r

rˆ ˆ r = xi + yˆ + zk j
ˆ ˆ j onde xi , yˆ , zk são as componentes r vetoriais de r e x, y, z são as componentes escalares, as quais fornecem a localização da partícula ao longo dos eixos de coordenadas em relação à origem. A figura ao lado, mostra uma partícula cujo vetor posição é:

(4.1) e cujas coordenadas retangulares são (-3m, 2m, 5m). Ao longo do eixo x a partícula está a 3m da origem, nosentido contrário ao do vetor unitário iˆ . Ao longo do eixo y, ela está a 2m da origem, no sentido do vetor unitário ˆ . Ao longo j ˆ do eixo z ela está a 5 m da origem, no sentido do vetor unitário k . Quando uma partícula se move, seu vetor posição varia de tal forma que sempre r liga o ponto de referência (origem) à partícula. Se o vetor posição varia (de r1

1

r para r2 , digamosdurante um certo intervalo de tempo), o deslocamento da r partícula, Δ r , durante esse intervalo de tempo é dado por:
(4.2) Usando a notação de vetores unitários da equação 4.1, podemos escrever esse deslocamento como:

(4.3)

r onde as coordenadas (x1, y1, z1) correspondem ao vetor r1 e as coordenadas (x2, r y2, z2) correspondem ao vetor posição r2 . Podemos também escrever o vetor deslocamentosubstituindo (x2 – x1) por Δx, (y2 – y1) por Δy e (z2 – z1) por Δz:

2

3

2 - Velocidade Média e Velocidade Instantânea
Se uma partícula se move de um ponto para outro, podemos estar interessados em saber com que rapidez ela se move, definindo assim as velocidades média e instantânea. No caso de um movimento 2D ou 3D devemos considerar essas grandezas como vetores e usar a notaçãovetorial.

r Se uma partícula sofre um deslocamento Δr em um intervalo de tempo Δt , sua r velocidade média v méd é dada por:

Assim, por exemplo, se a partícula do exemplo 4-1 se move da posição inicial para outra posição em 2,0 s, ou seja, e Δx = 12 m, Δy = 0 m e Δz = 3m

a velocidade média durante esse movimento é:

Logo, a velocidade média tem uma componente de 6,0 m/s em relação ao eixo x euma componente 1,5 m/s em relação ao eixo z. Novamente aqui, quando falamos da velocidade de uma par´ticula, nos referimos à velocidade instantânea, que é o limite da velocidade média, quando Δt 0. Assim, usando a linguagem do cálculo:

4

A figura 4-4 mostra a trajetória de uma partícula que se move no plano xy. Quando a partícula se desloca para a direita ao longo da curva, o vetor posiçãogira para a direita. Durante o intervalo de tempo Δt o vetor posição r r muda de r1 para r2 e o deslocamento da r partícula é Δr . Para determinar a velocidade instatânea da partícula no instante t1 (instante em que a partícula se encontra na posição 1), reduzimos o intervalo de tempo Δt nas vizinhanças de t1, fazendo-o tender a zero. No limite r r Δt 0 temos v méd → v e, o que é mais importante,vméd assume a direção da reta tangente. Assim, assume essa direção:

r

r v

também

Para escrever a equação 4-10 na forma de vetores unitários, usamos a expressão r para r dada pela 4-1:

que pode ser simplificada se escrevemos como:

onde as componentes escalares de

r v

são:

5

A figura 4-5 mostra o vetor velocidade v e suas componentes escalares x e y. r Note que v étangente à trajetória da partícula na posição da partícula. Atenção: quando o vetor posição é desenhado, como nas figuras 4-1 e 4-4, ele é uma seta que se estende de um ponto a outro. Entretanto, quando um vetor velocidade é desenhado, como na figura 4-5, ele não vai de um ponto ao outro. Em vez disso, sua orientação coincide com a do movimento instantâneo de uma partícula localizada na sua...
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