Matrizes

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1.

Matriz de ordem m por n é um quadro m x n números dispostos em m linhas e n colunas:

 a11
a
A =  21
M

a m1

a12 L a1n 
a 22 L a 2 n 

M
M

a m 2 L a mn 

* A matriz na qual m ≠ n é retangular, se representa por A(m,n ) e se diz de ordem m por n ou
(m x n).
* A matriz na qual m = n é quadrada, se representa por An ou A(n ,n ) e se diz de ordem n.

[]

* Amatriz A pode ser representada abreviadamente por A = a ij , i variando de 1 a m e j
variando de 1 a n. Assim, se a matriz tem 2 linhas e 3 colunas, ao fixar para i o valor 1 e fazendo
j variar de 1 a 3 obtém-se a11 , a12 , a13 ; fixando para i o valor 2 e fazendo j variar de 1 a 3,
obtém-se a 21 , a 22 , a 23 :

a11 a12 a13 
A=

a 21 a 22 a 23 


A matriz de ordem m por 1 é umamatriz coluna ou vetor coluna e a matriz de ordem 1
por n é uma matriz linha ou vetor linha. Exemplos:

A(3,1)


5
= 7 

 − 2


A(1, 4 ) = [2 5 − 3 8]

A matriz de ordem 1 x 1 é representada do mesmo modo que os números reais, n, 0, etc.

2.
Diagonal principal e diagonal secundária: numa matriz quadrada A de ordem n = 3 , por
exemplo:
 a11 a 2 a13 
A3 = A = a 21a 22 a 23  os elementos a ij em que i = j constituem a diagonal principal:


a31 a32 a33 


a11 , a 22 , a 33 . Os elementos a ij em que i + j = n +1 = 3 + 1 constituem a diagonal secundária:
a 31 , a 22 , a31 .
3.

Matriz diagonal e matriz unidade: A matriz quadrada D que tem os elementos a ij = 0

quando i ≠ j é uma matriz diagonal. A matriz diagonal que tem os elementos a ij= 1 para i = j
é uma matriz unidade. Indica-se a matriz unidade por I n ou simplesmente, por I. Exemplos:

1

3 0 0 
D3 = 0 5 0 


0 0 − 2 


4.

0
0=
0

1 0
I2 = 

0 1 

1 0 0
I 3 = 0 1 0 


0 0 1 



Matriz zero: é a matriz cujos elementos são todos nulos. Indica-se a matriz zero por 0:
0 0 0 
0 0


 , 0 = 0 0 0 
0 0
00 0 



[]

[]

5.
Matriz oposta de uma matriz A = a ij é uma matriz B = bij tal que bij = − aij . Indica-se
matriz oposta de A por – A. Exemplo:
 4 1
 − 4 − 1
A=
 − A =  3 − 8
 − 3 8



[ ] que
= 0 , para i > j é uma matriz triangular superior e a matriz B = [b ] que tem

Matriz triangular superior e matriz triangular inferior : a matriz quadrada A = a ij6.

tem os elementos a ij

ij

os elementos bij = 0 , para i < j é uma matriz inferior. Exemplos:

1 3 4 
A = 0 2 − 7 


0 0 − 1 



0 0
2
5
B=
6 0

− 3 − 4 3



[]

[]

Igualdade de matrizes: duas matrizes A = a ij e B = bij , de mesma ordem, são iguais

7.

se, e somente se, a ij = bij . Exemplo:

3 5 − 2 3 5 − 2
1 7 4  = 1 7 4 



[]

[]

Adição de matrizes: A soma de duas matrizes A = a ij e B = bij , de mesma ordem, é

8.

[]

uma matriz C = cij tal que cij = a ij + bij . Exemplo:

2 5 − 7 
3 − 2 4  +


9.
a)
b)
c)
d)

4 3 − 2
8 9 1  =



6 8 − 9 
11 7 5 



Propriedades da adição de matrizes: Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, tem-se:
A + (B + C) = (A+ B) + C
A+B=B+A
A+0=A
A + (- A ) = 0

10.
Produto de uma matriz por um escalar: se λ é um escalar, o produto de uma matriz
A = a ij por esse escalar é uma matriz B = bij tal que bij = λaij .

[]

[]

4 − 2 1 20 − 10 5 
5× 
=

3 5 − 3 15 25 − 15

2

11.
Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar:
a) (αβ )A = α (β A), α , β ∈ ℜ
b) (α + β ) A = αA+ β A
c) α ( A + B ) = αA + αB
d) 1 A = A

12.

Produto de uma matriz por outra: sejam as matrizes A(1,3) e B(3,1) :

6 
A = [2 4 3]
B = 7  o produto AB é, por definição, uma matriz C (1,1) , tal que:

5 

C (1,1) = 2 × 6 + 4 × 7 + 3 × 5 = 12 + 28 + 35 = 55 , isto é, C (1,1) é a soma dos produtos, na ordem em
que estão dispostos, dos elementos da matriz-linha A pelos...
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