Matrizes

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SISTEMA ESCALONADO Um sistema está na forma escalonada, se sua matriz aumentada (ou ampliada) está na forma escalonada. Exemplos:  x  2 y  3 z  0t  1  1 3  S1 :  z t , 2 4  t 1   Seja A = [aij]mxn uma matiz e B a matriz escalonada de A. Chamamos de Posto ou Característica da matriz A (indicado por p) ao número de linhas não nulas de B. OBS.: Ao número n  p chamaremos de nulidade damatriz ampliada de um sistema e indicaremos por N. Assim N  n  p , onde n é o número de incógnitas e p o posto da matriz ampliada. Exercício Resolvido: 1. Achar o posto e a nulidade das matrizes ampliadas de um sistema.

cuja matriz ampliada é 1  0  0  0  2 3 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1  3 4 1  0 

x  y  z  5  S 2 :  y  10 z  28 ,  z  3  cuja matriz ampliada é 1 11 5    0 1 10  28  0 0 1 3   

 1 2 1 0   a) A   1 0 3 5 , o posto da matriz A é 3    1  2 1 1  
e a nulidade é 0 ( N  n  p  3  3  0 ).

2  1 3 1 4 2   , o posto da matriz B é 2 e a b)  1  5 1    4 16 8 
nulidade é 0 ( N  n  p  2  2  0 ).

TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI: i) Um sistema de m equações e n incógnitas é consistente se, e somente se,o posto (p) da matriz aumentada (ou ampliada) do sistema (PA) é igual ao posto da matriz dos coeficientes (PC). ii) Se PA = PC = n, então o sistema é consistente e determinado, ou seja, tem solução única. iii) se PA = PC < n, então o sistema consistente e indeterminado, ou seja, tem mais de uma solução. Neste caso, o número N  n  p (grau de liberdade) é o número de variáveis cujo valor pode serarbitrado. 16

POSTO OU CARACTERÍSTICA DE UMA MATRIZ

iv) Se PA  PC, então o sistema é inconsistente, ou seja, não possui solução.

Exercício Resolvido: Discutir e resolver os seguintes sistemas: OBS.: 1) resolver ou solucionar um sistema é obter todas as suas soluções (quando existem). 2) Discutir um sistema é verificar a existência ou não de soluções. No caso de existir solução,verificar se é única ou não.

Note que a matriz de coeficientes possui m linhas e n colunas que correspondem as m equações e em n variáveis do sistema. O Teorema de Rouche-Capelli também pode ser apresentado da seguinte forma: 0 - zero 1 - um  Considere:   - qualquer número  - número real não nulo  Com esta notação um sistema escalonado reduzido por linhas possuirá somente uma das trêsalternativas:
1 0 0 *   0 1 0 * Primeira situação:      1 * 0 0   O sistema é consistente e determinado, ou seja, sistema com solução única. 1 * * *   0 1 * * Segunda situação:      0 0 0 0   O sistema é consistente e indeterminado, ou seja, sistema com infinitas soluções. 1 *  0 1 Terceira situação:    0 0  * *  * *   0  

x  y  z  w  0 2 x  y  z  0 a) y  2z  w  0  x  2 y  3z  w  1 
Solução: Reescrevendo o sistema na forma de matriz:
1 1 1 1   2 1 1 0  0 1 2 1  1 2 3 1  0  0 0  1 

cuja matriz escalonada reduzida é: 1 0  0  0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 3 0 7 3  0 5 3  1 1

Podemos verificar que o PA = PC = 4. Sendo assim o sistema possui solução única, que será  1 7 5  isto é,   ,  , ,1 ,  3 3 3 1 7 5 x   , y   , z  , w  1. 3 3 3

x yz 2 b)  
Solução:

 x  2 y  3z  5

Reescrevendo o sistema na forma de matriz:

O sistema é inconsistente, ou seja, não possui solução.

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1 1 1 2  1 2 3 5   cuja matriz escalonada reduzida é: 5 3 3 1 0 0 1 2 3 1  

Podemos verificar que o PA = PC = 2 < 3. Sendo assim o sistema possui infinitas soluções e onosso grau de liberdade será N = 3 – 2 = 1, ou seja, poderemos arbitrar o valor de uma variável e determinar o valor das demais em função deste. A solução deste sistema será  9  5t 2t  3  , , t  com t  , isto é,  3  3  9  5t 2t  3 x , y , z  t . Observemos que este 3 3 sistema possui infinitas soluções, uma delas é para t  3 temos:  2,1,3 .

3. Os números reais x, y e z são tais...
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