Matrizes

SISTEMA ESCALONADO Um sistema está na forma escalonada, se sua matriz aumentada (ou ampliada) está na forma escalonada. Exemplos:  x  2 y  3 z  0t  1  1 3  S1 :  z t , 2 4  t 1   Seja A = [aij]mxn uma matiz e B a matriz escalonada de A. Chamamos de Posto ou Característica da matriz A (indicado por p) ao número de linhas não nulas de B. OBS.: Ao número n  p chamaremos de nulidade da matriz ampliada de um sistema e indicaremos por N. Assim N  n  p , onde n é o número de incógnitas e p o posto da matriz ampliada. Exercício Resolvido: 1. Achar o posto e a nulidade das matrizes ampliadas de um sistema.

cuja matriz ampliada é 1  0  0  0  2 3 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1  3 4 1  0 

x  y  z  5  S 2 :  y  10 z  28 ,  z  3  cuja matriz ampliada é 1 1 1 5    0 1 10  28  0 0 1 3   

 1 2 1 0   a) A   1 0 3 5 , o posto da matriz A é 3    1  2 1 1   e a nulidade é 0 ( N  n  p  3  3  0 ).

2  1 3 1 4 2   , o posto da matriz B é 2 e a b)  1  5 1    4 16 8  nulidade é 0 ( N  n  p  2  2  0 ).

TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI: i) Um sistema de m equações e n incógnitas é consistente se, e somente se, o posto (p) da matriz aumentada (ou ampliada) do sistema (PA) é igual ao posto da matriz dos coeficientes (PC). ii) Se PA = PC = n, então o sistema é consistente e determinado, ou seja, tem solução única. iii) se PA = PC < n, então o sistema consistente e indeterminado, ou seja, tem mais de uma solução. Neste caso, o número N  n  p (grau de liberdade) é o número de variáveis cujo valor pode ser arbitrado. 16

POSTO OU CARACTERÍSTICA DE UMA MATRIZ

iv) Se PA  PC, então o sistema é inconsistente, ou seja, não possui solução.

Exercício Resolvido: Discutir e resolver os seguintes sistemas: OBS.: 1) resolver ou solucionar um sistema é obter todas as suas soluções (quando existem). 2) Discutir um sistema é verificar a existência ou não de soluções. No caso de existir solução,