Matrizes

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Operações com Matrizes 

Igualdade de Matrizes 

Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij. 

Propriedades da Igualdade 

- Se A = B, então At = Bt 

- (At)t = A 

Adição e subtração de Matrizes 

A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij+ bij. 

A subtração dematrizes é dada pela sentença: 

A – B = A + (– B ) 

Propriedades da adição de Matrizes 

a) A + B = B + A (COMUTATIVA) 

b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA) 

c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO) 

d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO) 

e) (A + B)T = AT + BT (TRANSPOSTA DA SOMA)

Matriz transposta
Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A eindica-se por At a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe o exemplo:

Note que A é do tipo 3 x 2 e At é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta , a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matrizoriginal.
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B=(bij) são matrizes do tipo m x n, então:

Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

Solução:

Adição de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtidaadicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.

Solução:

Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:
- Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neuto: A+O = O+A = A
Matriz oposta
Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta namatriz nula. Exemplo:
Dada a matriz:

A oposta de A será

pois:

Subtração de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

Multiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz  produto do numero real K por A, a matrizobtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.

Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de

Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da multiplicação de numero real por matriz:
- 1.A = A
- (-1).A = -A
- p.O = O
- 0.A = 0
- p.(A + B) = p.A + p.B
- (p + q).B = p.B + q.B
- p.(q.A) = (p.q).A
Multiplicação de matrizes
Sendo Auma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:

Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I).

Os conceitos Matemáticos
Eu particularmente gosto de matemática , e, creio que todo bom programador também deve gostar , afinal conceitos matemáticos estão intimamenterelacionados com a arte de programar. Assim o conceito de matrizes é fundamental para qualquer programador. Vamos então recordar os conceitos aprendidos na escola.
a-) O que é uma matriz ?
Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela rectangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem...
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