Matrizes e determinantes

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` ´ INTRODUCAO A ALGEBRA LINEAR ¸ ˜
Reginaldo J. Santos Departamento de Matem´ tica-ICEx a Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi

Julho 2010

Introducao a Algebra Linear ¸˜ ` ´ Copyright c 2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100808) ´ E proibida a reproducao desta publicacao, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pr´ via autorizacao, por ¸˜ ¸˜ e ¸˜ escrito, doautor. Editor, Coordenador de Revis˜ o, Supervisor de Producao, Capa e Ilustracoes: a ¸˜ ¸˜ Reginaldo J. Santos ISBN 85-7470-018-5 Ficha Catalogr´ fica a

S237i

Santos, Reginaldo J. Introducao a Algebra Linear / Reginaldo J. Santos ¸˜ ` ´ - Belo Horizonte: Imprensa Universit´ ria da UFMG, 2010. a ´ 1. Algebra Linear

I. T´tulo ı

CDD:

512.5

Conteudo ´

Pref´ cio a 1 Matrizes eSistemas Lineares 1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Operacoes com Matrizes . . . . . . ¸˜ ´ 1.1.2 Propriedades da Algebra Matricial 1.1.3 Aplicacao: Cadeias de Markov . . ¸˜ ´ Apˆ ndice I: Notacao de Somatorio . . . . e ¸˜ 1.2 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . ¸˜ 1.2.1 M´ todo de Gauss-Jordan . . . . . e 1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas 1.2.3 Sistemas LinearesHomogˆ neos . . e 1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) .

vii 1 1 3 9 14 28 30 34 44 47 52 70 70

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Invers˜ o de Matrizes e Determinantes a 2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

iv 2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Matrizes Elementares e Invers˜ o (opcional) . . . . a 2.1.3 M´ todo para Invers˜ o de Matrizes . . . . . . . . . e a 2.1.4Aplicacao: Interpolacao Polinomial . . . . . . . . ¸˜ ¸˜ 2.1.5 Aplicacao: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . 2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) 2.2.3 Matriz Adjunta e Invers˜ o (opcional) . . . . . . . a Apˆ ndice II: Demonstracao do Teorema 2.11 . . . .. . . e ¸˜ Matrizes Particionadas em Blocos (opcional) . . . . . . . 2.3.1 Operacoes Matriciais em Blocos . . . . . . . . . . ¸˜ 2.3.2 Inversa de Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . 2.3.3 Determinante de Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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