Matriz

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|ALUNO(A): No: TURMA: |




MATRIZES E DETERMINANTES - GABARITO

1) Dadas as matrizes A e B, determine a matriz X de 2a ordem que é solução da equação matricial A.X + B = 0, onde 0 representa a matriz nula de ordem 2.



Solução.
Seja [pic]( A.X +B = 0 ([pic] ([pic]


([pic]. Então:
















. Logo, a matriz X é [pic].






2) Seja A = [aij] a matriz 2 x 2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j. Calcule A2.


Solução.
[pic]


3) Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostrada a seguir, são tais que sua soma é igual a:










a) - 3b) - 2 c) - 1 d) 2 e) 3


Solução. Letra e.


[pic]


[pic]


[pic]


Portanto, x = 4, y = 1 e z = ( 2. Então, x + y +z = 4 + 1 ( 2 = 3.


4) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se I e 0 são, respectivamente, as matrizes identidade enula, de ordem 2, é verdade que:
a) A + B ≠ B + A
b) (A. B).C = A.(B.C)
c) A.B = 0 ( A = 0 ou B = 0
d) A.B = B.A
e) A.I = I


Solução. Letra b.


Veja as propriedades das operações com matrizes no livro texto de matemática.


5) (UFF-2006) Por recomendação médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias. Estas refeições são compostas por doistipos de alimentos, os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte tabela (fig. 1).
De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500 unidades de vitamina B.
Considere nesta dieta:
x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas.
y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.
[pic]Solução. Letra c.
A matriz M é a matriz transposta da matriz [pic], então [pic], pois


[pic]
6) Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i2 ( j2 e bij = ( i2 + j2, o valor de A ( B é:


a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic]

Solução. Letrab.

[pic] e [pic]. Então [pic]


7) (UERJ-2008) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007 (tabela I).
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer outra classificaçãodesses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores:
- ouro: 3 pontos;
- prata: 2 pontos;
- bronze: 1 ponto.
Esses valores compõem a matriz [pic].
[pic]
Tabela I – Quadro de medalhas Jogos Pan-americanos RJ 2007


Determine a partir do cálculo do produto A.V, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente.

Solução.Estados Unidos: 519
( Cuba: 288
Brasil: 309




8) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q. Se a matriz A.B é 3 x 5, então é verdade que
a) p = 5 e q = 5
b) p = 4 e q = 5
c) p = 3 e q = 5
d) p = 3 e q = 4
e) p = 3 e q = 3.


Solução. Letra b.


9) Sejam A e B as matrizes [pic]. Se C = A.B, então c22 vale:


a) 3b) 14 c) 39 d) 84 e) 258



Solução. letra d.




[pic], [pic]e[pic]




Como pede-se apenas o elemento c22, não precisamos multiplicar todos os elementos das matrizes A e B. O elemento c22 é obtido operando-se os elementos da segunda linha da matriz A...
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