Matriz

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VICOSA ¸ Centro de Ciˆncias Exatas e Departamento de Matem´tica a

´ 1a Lista - MAT 138 - No¸oes de Algebra Linear c˜

(Matrizes)

II/2007

1. Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens, 4 × 3, 4 × 5, 3 × 5, 2 × 5 e 3×5. Determine quais das seguintes express˜es matriciais s˜o poss´ o a ıveis e determine a respectiva ordem. (a) AE + B T ; (b) C(DT +B); (c) AC + B; (d) E T (CB).

2. Sejam A, B, C, D e E matrizes que satisfazem: AB T tem ordem 5 × 3; (C T + D)B tem ordem 4 × 6 e E T C tem ordem 5 × 4. Determine as ordens das matrizes A, B, C, D e E, respectivamente. 3. Construa uma matriz e identifique a ordem, em cada caso: (a) linha; (b) coluna; (c) quadrada; (f ) sim´trica; e 1 2 0 −3 eB= 1 2 2 1 . (d) diagonal. (g) anti-sim´trica. e (e)triangular superior; 4. Dadas as matrizes A =

(a) Obtenha as matrizes A2 , A · B, B 2 , A + B e (A + B)2 . (b) Verifique se vale a identidade: A2 + 2A · B + B 2 = (A + B)2 . (c) Verifique se vale a identidade: A2 − B 2 = (A + B) · (A − B). (d) Qual ´ a condi¸ao necess´ria para que as identidades dos itens (b) e (c) sejam verdadeiras? e c˜ a 5. Obtenha as matrizes que comutam com a matriz A = 1 −1 6. Dadas as matrizes A =   6 5 (A · B)12 e (B · A)23 . 7. Dadas as matrizes A = 1 3 2 5  1 −1 0 2 .

   5 −1 3 1 3 13 15   2 −2 4   e B =  3 −4 20 33  determine os elementos  1 7 3 −1  2 1 44  3 0 4 2 1 3 2 2 x −1 y 9 3 . 3 1

,B=

eC=

(a) Determine x e y tais que A · C = B · C. (b) Sendo A · C = B · C, ´ poss´ cancelar C? e ıvel (c) E se a matriz C tivesse determinantediferente de zero? 8. Se A ´ uma matriz 2 × 4, definida pela lei e 9. Dadas as matrizes A = 2 3 1 −1 eB= i + j, se i ≤ j , determine a matriz A e AT . i − j, se i > j 2 4 . 1 2

(a) Encontre uma matriz X tal que A + X = B. Essa matriz X ´ unica? e´ (b) Encontre uma matriz X tal que A · X = B. Essa matriz X ´ unica? Por quˆ? e´ e (c) Encontre uma matriz X tal que B · X = A. Essa matriz X ´ unica?Por quˆ? e´ e 1

10. Dada uma matriz quadrada A, se existir um n´mero inteiro p > 0, tal que Ap = A, diz-se  u  2 −1 −1 4 3 , mostre que A ´ idempotente. que A ´ uma matriz idempotente. Se A =  −3 e e 5 −5 −4 Determine o menor inteiro p para o qual Ap = A. 11. Calcule o valor de x, para que o produto da matriz A = B = −2 x 3 1 pela matriz

3 −1 seja uma matriz sim´trica. (Observa¸˜o:dizemos que uma matriz A ´ e ca e 2 1 sim´trica se A = At .) e 12. Seja a matriz A = a b . c d

(a) Calcule det A, det AT e compare os resultados. (b) Se k ´ um n´mero (escalar), calcule: e u i. det(kA). ii. Escreva esse resultado em termos de det A. (c) Seja M uma matriz anti-sim´trica. e i. Se M for de ordem 2, mostre que M pode ser invers´ ıvel. ii. Se a ordem de M for 3, ent˜o M n˜o tem inversa. aa 13. Calcule o determinante das seguintes matrizes e identifique as que s˜o a      2 1 1 2 3 1 0 1 3 −2  0 2  2 1 2 1    3   , D =  0 4 −1 , E =  0 0 C=   1 1 1 0   0 0 −2 1   0 0 0 1 2 0 0 5 −3 4 0 0 invers´ ıveis. 2 3 3 0 0  1 −1 1 2   3 0 .  1 2  0 −1

14. Dada a matriz A abaixo, determine sua inversa se isso for poss´ ıvel. Use neste primeiro exerc´ ıcio o m´todoque trabalha com opera¸oes elementares sobre linhas. Classifique as matrizes em e c˜ singular ou n˜o singular. a       1 2 3 1 0 1 0 1 1 A =  1 1 2 , B =  1 1 0 , C =  2 0 2 . 0 1 2 0 2 1 1 1 2 15. Sendo A e B matrizes invers´ ıveis de ordem n, isolar a matriz X de cada equa¸ao abaixo: c˜ (a) AXB = I; (d) (A + X)T = B; (b) (AX)T = B; (e) AXB = BA; (c) (AX)−1 = I; (f ) (AX −1 )T = B.16. Sejam A, B e C , matrizes reais de ordem 3, satisfazendo a seguintes rela¸˜es; A · B = C −1 , co B = 2A. Se o determinante da matriz C vale 32, qual ´ o valor, em m´dulo, do determinante e o da matriz A? 17. Seja Q uma matriz de ordem 4, tal que det Q = 0 e Q3 + 2Q2 = 0. Calcule o valor de det Q.   a + c b + c 2c a b c  = 0. 18. Use algumas propriedades de determinantes para mostrar...
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