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Uma experiência
sobre o ensino de
sistemas lineares
Adaptado do artigo de

Maria Cristina Costa Ferreira
Maria Laura Magalhães Gomes

O estudo dos sistemas lineares está sempre
presente nos programas de Matemática do
ensino médio. Entretanto, seu significado
geométrico, tratado no artigo Sobre o ensino
de sistemas lineares, pelo Prof. Elon Lages
Lima, é comumente deixado de lado.Por meio de nossas observações e dos
depoimentos de alguns participantes de um
curso de aperfeiçoamento de professores,
pretendemos mostrar como a interpretação
geométrica pode contribuir para uma melhor
compreensão do estudo dos sistemas lineares.
Procuramos, a seguir, mostrar algumas
percepções dos professores durante a
e x periência do curso, com base nas
observações feitas em sala deaula e nos
trabalhos por eles apresentados.
A análise feita pelos professores
Dois aspectos destacaram-se: a interpretação geométrica dos sistemas lineares
3× 3 e a opção a ser feita entre os métodos de
resolução desses sistemas − regra de Cramer
ou escalonamento? A seguir comentamos cada
um desses aspectos separadamente.
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(1) Interpretação geométrica dos sistemas lineares 3 × 3Segundo os professores, não é de fato usual interpretar
geometricamente os sistemas lineares 3 × 3, embora essa interpretação
seja, em geral, realizada para sistemas lineares de duas equações e
duas incógnitas, quando se faz seu estudo na 7a série do ensino fundamental. Nesse caso, cada equação do sistema
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
representa uma reta, e as posições relativas de duas retas noplano são:
(a) retas concorrentes;
(b) retas paralelas;
(c) retas coincidentes.
Nos casos (a), (b) e (c), o sistema possui solução única, não possui
solução ou possui infinitas soluções, respectivamente.
Já para sistemas lineares 3 × 3 da forma

a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x+ b3y + c3z = d3

(1)
(2)
(3)

as equações (1), (2), (3) representam planos π1, π2 e π3 noespaço tridimensional.
Entretanto, as possibilidades para as posições dos três planos são oito.
Quatro delas correspondem a sistemas impossíveis (nenhuma solução),
três, a sistemas indeterminados(*) (infinitas soluções), e uma, a sistemas
que têm uma única solução.
Os depoimentos abaixo mostram que essa abordagem geométrica torna
o assunto mais interessante e dá maior segurança para quem oensina.

(*)

Nota
Embora esse seja o nome usual, na verdade o conjunto-solução desses sistemas
está completamente determinado, apesar de ter infinitos elementos.

56

Professor A
“Trabalho com uma turma, do 2o ano do ensino
médio, muito interessada em estudar. Quando ia
introduzir Sistemas Lineares, fiz uma revisão de sistemas
do 1o grau com duas variáveis vistos na 7a série do ensinofundamental. Os alunos fizeram várias perguntas sobre
os tipos de solução. Fiz os gráficos das equações e
mostrei as retas paralelas, coincidentes e concorrentes para justificar as
soluções. Se não tivesse feito esse curso, teria ficado em ‘apuros’ com 3
variáveis e 3 equações. Eles também me perguntaram como representálos graficamente.”
Professor B
“Estou sabendo fazer a interpretaçãogeométrica dos problemas, e
isso me deixa mais à vontade. Antigamente, sabia fazer algebricamente,
mas ficava uma lacuna, um vazio, faltava a interpretação.”
Os comentários feitos podem ser sistematizados assim: ao associar um
plano a cada equação do sistema linear 3 × 3, a abordagem geométrica
permite distingüir tipos diferentes de sistemas indeterminados e impossíveis.
Analisando aspossibilidades para as posições relativas de três planos no
espaço, os professores perceberam que:
1. No caso dos sistemas indeterminados, as infinitas soluções podem ser
os pontos de um plano ou de uma reta.
2. No caso dos sistemas impossíveis, a inexistência de soluções pode
ocorrer de maneiras distintas: dois ou três planos podem ser paralelos
entre si ou os três planos podem se interceptar dois...
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