Logaritmos

MATEMÁTICA

LOGARITMOS
E.2) Calcule o valor de log3 2 , sabendo que e log10 3 = 0, 477 .

1. DEFINIÇÃO

log10 2 = 0, 301

Dados a, b ∈ R+* e a ≠ 1 .

Resolução:
Mudando o logaritmo para a base 10, temos:

loga b = x ↔ ax = b

2. ELEMENTOS

log3 2 =

2.6. Antilogaritmo e Cologaritmo
Define-se como antilog de x na base a como o logaritmando do logaritmo de b na base a, ou seja, loga b = x ⇔ antiloga x = b .
Define-se como cologaritmo de b na base a como o oposto do logaritmo de b na base a, ou seja, cologa b = − loga b .

logaritmando

log

a

b

=x

Logaritmo

base

O logaritmo representa o expoente da base para gerar o logaritmando.
Exemplo
E.1) log2 8 = x ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3 .
3

Exemplo:
E.1) b = antilog2 3 ⇔ log2 b = 3 ⇒ b = 8 .
E.2) Determine o colog2 16 = − log2 16 = −4 .

3
2

E.2) log2 2 2 = x ⇒ 2x = 2 2 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = .

2.7. Equações Logarítmicas
Para resolver as equações logarítmicas da mesma base, usamos o fato de a função logarítmica ser injetora, ou seja, quando suas imagens são iguais, então os elementos correspondentes do domínio são iguais (supondo satisfeitas as condições de existência dos logaritmos). Em símbolos, temos: logc x1 = logc x 2 ⇔ x1 = x 2 ( x1, x 2 ∈ R + ,c ∈ R + e c ≠ 1) .

2.2. Conseqüências da Definição
Dados x, b, a > 0 e a ≠ 1 .
0
loga 1 = 0 , pois a =1.
1
loga a = 1 , pois a =a. loga am = m ,

pois am=am.

aloga b = b . loga x = loga b ⇒ x = b

Exemplo:
E.1) Calcule o valor de x na equação

2.3. Representações Especiais
O logaritmo na base 10 é escrito sem a base, isto é, log10 b = log b .
O logaritmo na base e (número periano) é escrito como lnb = loge b

log ( x − 3) = log ( 2x − 5 )

Resolução:
Usando a propriedade na equação. log ( x − 3) = log ( 2x − 5 ) ⇒ x − 3 = 2x − 5 ⇒ x = 2 ,

como x = 2 não satisfaz à condição de existência, pois o logaritmando se torna negativo, então o conjunto solução é vazio.

2.4. Propriedades Operatórias
Satisfeitas as condições de existência, temos:
P1) logb (ac) = logb a + logb c ;
a