Limite/derivada

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C´lculo Diferencial e Integral I a Quarta lista de Exerccios
Prof. Ricardo Coelho 27/03/2011
1) Esbo¸e o gr´fico de cada uma das fun¸oes f , que satisfa¸am a todas as condi¸oes dadas: c a c˜ c c˜ a) f (0) = 0, f (1) = 1, b) lim f (x) = ∞, +
x→0 x→2 x→0− x→∞ x→∞

lim f (x) = 0, f ´ ´ e ımpar
x→∞

lim f (x) = −∞,

lim f (x) = 1,

x→−∞

lim f (x) = 1
x→0

c) lim f (x) = −∞, lim f (x)= ∞, d) lim f (x) = ∞,
x→−2 x→−∞

x→−∞ x→∞

lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞ + −
x→0

lim f (x) = 3,

lim f (x) = 3

2) Fazendo uma revis˜o, encontre os limites a t−4 2 − 3t − 4 t x2 − x − 2 b) limx→−1 2 x + 3x − 2 (1 + h)2 − 1 c) limh→0 . h a) limt→4 d) limx→6+ x x+6 |x − 8| e) limx→8− x−8 √ √ x + 2 − 2x f) limx→2 x2 − 2x g) limx→10− ln(100 − x2 ) h) limx→∞ e−3x i) limx→0tan(x2 ) j) limx→∞ arctan(x3 − x)

3) Calcule os seguintes limites aplicando os limites fundamentais: (a) lim (b) (c) (d) (e) sen 9x x→0 x sen 4x lim x→0 3x sen ax lim ,a = 0 x→0 ax sen 10x lim x→0 sen 7x sen ax lim ,a = b = 0 x→0 sen bx (f) lim tg ax x→0 x 23x − 1 x→0 3x eax − 1 (l) lim x→0 x x−2 10 −1 (m) lim x→2 x−2 (k) lim (n) lim −1 x→−3 x + 1 5x − 25 (o) lim x→2 x − 2 4
x+3 5

1 n+5 )n→∞ n 1 (h) lim (1 + )ax , a = 0 x→∞ x 2 (i) lim (1 + )x x→∞ x 1 )x , a = (j) lim (1 + x→∞ ax + b 0, b = 0 (g) lim (1 +

4) Siga os passos abaixo: 1

a) Encontre a inclina¸ao da reta tangente a par`bola f (x) = x2 + 2x no ponto (−3, 3) c˜ ` a • usando a primeira Defini¸ao; c˜ • usando a segunda Defini¸ao. c˜ b) Encontre a equa¸ao da reta tangente do ´ c˜ ıtem anterior. c) Esboce o gr´fico dapar´bola e da reta tangente no ponto dado. a a 5) Se f (x) = x3 −5x+1, encontre f (1) e use-o para determinar a equa¸ao da reta tangente a c˜ ` curva de f no ponto x = 1. Esboce o gr´fico da curva e da reta tangente do ´ a ıtem anterior. 6) Use a primeira defini¸ao de inclina¸˜o da reta tangente para explicar como a inclina¸˜o c˜ ca ca da reta secante se aproxima da inclina¸˜o da reta tangente numdeterminado ponto. ca 7) Dada uma fun¸ao f e um ponto a em seu dom´ c˜ ınio, o que f (a) representa? 8) Porque a nota¸ao c˜ dy ´ usada para representar a derivada de uma determinada fun¸˜o? e ca dx

9) Se f ´ diferenci´vel em x = a, f deve ser cont´ e a ınua em x = a? 10) Se f ´ cont´ e ınua em x = a, f deve ser diferenci´vel em x = a? a 11) Escreva trˆs nota¸oes diferentes para a derivada de f comrespeito a x. e c˜ 12) Encontre a derivada da fun¸ao dada usando uma das duas defini¸˜es. Estabele¸a os c˜ co c dom´ ınios da fun¸ao e de sua derivada. c˜ √ 1 e) g(x) = 1 + 2x a) f (x) = 5x + 3 h) g(x) = 2 x x+1 b) f (x) = 5 − 4x + 3x2 f) f (x) = x−1 i) f (x) = x4 c) f (x) = x3 − x2 + 2x 4 − 3x √ g) G(x) = j) f (x) = ex d) f (x) = x + x 2+x 13) Em quais n´meros a fun¸ao g ´ diferenci´vel? u c˜ e a  −1 − 2x se x < −1 x2 se − 1 ≤ x ≤ 1 g(x) =  x se x > 1, Determine a f´rmula para g e esboce os gr´ficos de g e g . o a 14) Esboce o gr´fico da fun¸˜o derivada de cada uma das seguintes fun¸oes: a ca c˜

15) Seja f (x) = 2−x se x ≤ 1 2 x − 2x + 2 se x > 1,

ent˜o f ´ diferenci´vel no ponto x = 1? Esboce o gr´fico de f e f . a e a a 2

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

16) Seja f (x)= 2x2 se x ≤ 1 ax + 2 se x > 1.

Determine um valor de a, se possvel, onde a fun¸˜o f (1) existe. ca 17) Siga os seguintes passos: a) Encontre a derivada de f (x) = (x2 + 1)(x3 − 1) de duas maneiras diferentes. As respostas s˜o iguais? Qual o m´todo vocˆ prefere? a e e Explique. b) Encontre a derivada da fun¸ao c˜ √ x − 3x x √ g(x) = x de duas maneiras diferentes. Moster que as respostas s˜oequivalentes. Qual o m´todo a e vocˆ prefere? Explique. e 18) Energia ´ a capacidade de executar trabalho e potˆncia ´ a taxa que a energia ´ usada e e e e ou consumida. Logo, se E(t) ´ a fun¸˜o energia para um sistema, ent˜o P (t) = E (t) e ca a ´ a fun¸˜o potˆncia. Uma unidade de energia ´ o kilowatt-hora (1kWh ´ a quantidade e ca e e e de energia necess´ria para acender 10 lˆmpadas de 100W por...
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