Limites e derivadas

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  • Publicado : 30 de novembro de 2012
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É de extremada importância para os estudos da disciplina de Calculo. A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, algumas das quais iremos explorar neste trabalho, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas e limites, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada mente a semanifestar.
A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos ainda lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.
Enfim, temos muito o que extrair dasderivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações. Trazem um novo meio, capaz de nos elucidar novas formas de analisar dados numéricos.
O conceito de limite é fundamental em todo o Cálculo diferencial, um campo da matemática que iniciou no século XVII com os trabalhos de Newton e Leibnitz que visava resolverproblemas de mecânica e Geometria.
O cálculo diferencial é aplicado em vários campos do conhecimento, como em Física,
Engenharia, Economia, Geologia, Astronomia, Biologia, etc.
Neste trabalho faremos uma exploração da idéia de limite e derivada, demonstrando suas aplicações, no vários segmentos dos campos passíveis de sua aplicação.
2 DEFINICÃO DE LIMITES E DERIVADAS 2.1 LIMITES
Emmatemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e acontinuidade de funções.
Idéia intuitiva de limite Exemplo: ( Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1.
Vamos desenvolver as seguintes etapas: a.) Preencher metade dessa figura.
b.) Preencher metade do que restou em branco.
c.) Preencher, novamente, metade do que restou em branco.
Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área acurada vai preenchendo quasetodo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1.
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8, , 1
Dizemos então que o limite desse processo, quando o número de partes preenchidas tende a um valor maior do que qualquer valor imaginável, é preencher a figura toda, ou seja, obter
Área preenchida: ½
Área preenchida: ½ + ¼ = ¾ uma área preenchida igual a 1. Quando dizemos quea área preenchida tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor. a. Considere o gráfico da função f(x):

Dizemos que o limite da função f(x) quando x tende a “a” é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f(x) para os infinitos valores de x permanecerem próximo de L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.
Indica-se
2.2 DERIVADAS
Emmatemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é umaderivada. Consideremos uma função f ( x ) . A função f é derivável em a, se
f’ (a)= lim f(x ) – f( a)
x → 0
x - a
existir o limite, neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.
3 APLICAÇÃO DE LIMITES E DERIVADAS EX: 1 Calcular as vendas de uma indústria.
no ponto P. Este ponto é denominado de Ponto de Inflexão
y (unidade de milhar)
100 V(q)
Côncavo para baixo
80...
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