Integral definida

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A RELAÇÃO ENTRE ÁREA E INTEGRAL DEFINIDA – REVELANDO
ALGUNS PROBLEMAS

Allan Escarlate (Mestrado em ensino de matemática - IM-UFRJ) escarlate@pg.im.ufrj.br
Resumo
Este artigo tem como objetivo expor os resultados de uma pesquisa feita com alunos
universitários sobre suas concepções em relação ao conceito de integral definida e as
relações entre este conceito e o conceito de área. Para isso, umquestionário foi aplicado
em um grupo de alunos do curso de Licenciatura em Matemática da UFRJ que já
concluíram os cursos iniciais de cálculo. Os resultados foram analisados e discutidos à
luz das teorias de imagem de conceito, definição de conceito e raiz cognitiva.
Dificuldades de diversos tipos foram apresentadas pelos alunos em relação a questões
teóricas e práticas relacionadas com integral.Fica claro o estreitamento das imagens de
conceito dos alunos e isso pode ser atribuído à predominância da interpretação
geométrica da integral como área. Apesar de ser familiar para os alunos, a noção de área
sob a curva acaba se tornando em algum momento uma definição para o conceito de
integral definida. Sendo assim, uma discussão sobre a viabilidade da idéia de área sob a
curva como raizcognitiva para o conceito de integral constitui o assunto central deste
trabalho.
Palavras chave: imagem de conceito, raiz cognitiva, integral definida.
1. Introdução
Nos últimos anos, muitas pesquisas têm sido realizadas sobre ensino e
aprendizagem de cálculo elementar, a maioria destas tratando de limites e derivadas e de
conceitos diretamente ligados (e.g. VINNER, 1983; TALL, 1989;WINIKI-LANDMAN
& LEIKIN, 2000; GIRALDO, 2004; BIZA et al, 2006). No entanto, encontra-se na
literatura de educação matemática um número relativamente pequeno de trabalhos
enfocando a aprendizagem de integrais. O presente trabalho tem por objetivo geral
investigar as concepções de alunos em fase inicial de aprendizagem de cálculo sobre o
conceito de integral definida e suas interpretações geométricas.Utilizando como referencial teórico as noções de imagem de conceito, definição de
conceito (TALL & VINNER, 1981) e raiz cognitiva (TALL, 1989), procuramos mostrar
que grande parte dos alunos adquire uma idéia imprecisa da definição de integral
definida, e que essa concepção provoca erros até mesmo em situações
consideravelmente simples. Nossas conclusões estão baseadas em uma pesquisa
realizada com alunosdo curso de Licenciatura em Matemática da UFRJ. Estes
resultados coincidem em grande parte com os de pesquisas semelhantes realizadas em

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outros países (ORTON, 1983; RASSLAN & TALL, 2002; GONZÁLEZ-MARTÍN &
CAMACHO, 2004), o que reforça as conclusões.
Na seção 2, expomos um resumo do referencial teórico mencionado acima. Na
Seção 3, são feitas referências a alguns trabalhos de pesquisarelacionados com o
conceito de integral e as questões de pesquisa são explicitadas. A metodologia da
pesquisa consta na seção 4, assim como a apresentação de alguns dados empíricos. Uma
análise destes é feita na seção 5 e algumas considerações são comentadas na seção 6.
2. Referencial teórico
A teoria de imagem de conceito, desenvolvida por David Tall e Shlomo Vinner se
baseia na concepção defendidapelos autores de que a introdução de um determinado
conceito matemático através de sua definição formal (aquela amplamente aceita pela
comunidade matemática) não constitui uma boa alternativa, em termos pedagógicos.
Segundo os autores, para que a definição formal seja satisfatoriamente compreendida
pelo estudante, é preciso que haja uma familiarização anterior com o conceito em
questão, desenvolvidacom base em impressões e experiências variadas.
Esse conjunto de experiências e impressões relacionadas a um determinado
conceito formam o que os autores denominam de imagem de conceito, que é definida
como a estrutura cognitiva total associada ao conceito, que inclui todas as imagens
mentais, processos e propriedades associadas a um dado conceito. Essa imagem de
conceito se desenvolve e sofre...
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