Integral definida

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Integral Definida

Calculando a velocidade a partir da distância percorrida. Isso nos leva a noção de derivada, ou taxa de variação, de uma função. Vamos considerar, agora, o problema inverso: dada a velocidade, como podemos calcular a distância percorrida? Isso nos leva ao nosso segundo conceito chave, a Integral Definida, que calcula a variação total de uma função a partir de sua taxa devariação. Então a integral definida pode ser usada para calcular não só à distância, como também muitas outras quantidades, tais como a área debaixo de uma curva e o valor médio de uma função.
Podemos usar a integral definida para obter informação sobre uma função a partir de sua derivada. Calcular derivadas e calcular integrais definidas são, de certo modo, processos inversos um do outro.

Comomedir a distância percorrida
Um experimento teórico: quão longe foi o carro? Dados sobre a velocidade a cada dois segundos.

Um carro esta se movendo com velocidade crescente. Medimos a velocidade do carro a cada dois segundos e obtermos os dados da tabela abaixo.

Velocidade do carro a cada dois segundos
Tempo (s) 0 2 4 6 8 10
Velocidade (ft/s) 20 30 38 44 48 50

Quão longe foi ocarro? Como não sabemos o quão depressa esta se movimentando em todos os instantes, não podemos calcular a distância exatamente, mas podemos fazer uma estimativa. A velocidade esta aumentando, de modo que o carro esta indo a, pelo menos, 20 ft/s (cerca de 6 m/s) durante os dois primeiros segundos. Como Distância = Velocidade X Tempo, o carro percorre, pelo menos, (20) (2)= 40 pés (cerca de 12 m)durante os dois primeiros segundos. Da mesma forma, ele percorre, pelo menos, (30) (2)= 60 pés durante os próximos dois segundos, e assim por diante. Durante o período de dez segundos, ele percorre, pelo menos, (20) (2) + (30) (2) + (38) (2) + (44) (2) +(48) (2) = 360 pés.

Portanto, 360 pés é uma estimativa por baixo da distância total percorrida durante os dez segundos.
Para obter uma estimativapor cima, podemos raciocinar da seguinte maneira: durante os dois primeiros segundos, a velocidade do carro é, no máximo, 30 ft/s, de modo que ele percorre, no máximo, (30) (2) = 60 pés. Durante os dois segundos a seguir, ele percorre, no máximo, (38) (2) = 76 pés, e assim por diante. Durante o período de dez segundos ele percorre, no máximo,
(30) (2) + (38) (2) + (44) (2) + (48) (2) + (50) (2) =420 pés.

Portanto, 360 pés ≤ Distância total percorrida ≥ 420 pés.

Tornando precisas as estimativas para a distância

Vamos obter, agora, uma expressão para a distância total percorrida. Vamos expressar a distância total percorrida como um limite das duas estimativas, inferior e superior.
Queremos saber a distância percorrida por um objeto em movimento durante o intervalo de tempo a ≤ t≥ b. supondo que a velocidade no instante t é dada pela função v= f(t). Medimos f(t) em instantes igualmente espaçados t0, t1, t2,...,tn, com t0= a e tn= b. O intervalo entre duas medidas consecutivas é
Onde D representa a variação.
Durante o primeiro intervalo de tempo, a velocidade pode ser aproximada por f(t0), de modo que à distânciapercorrida é, aproximadamente,

f(t0)Dt

Durante o segundo intervalo de tempo, a velocidade está em torno de f(t1), de modo que a distância percorrida é cerca de
f(t1)Dt
Continuando dessa maneira e somando todas as estimativas, obtemos uma estimativa para a distânciatotal. No ultimo intervalo, a velocidade é cerca de f(tn-1), de modo que o ultimo termo é f(tn-1)Dt:
Distância total percorrida entre t= a e t= b»
» f(t0)Dt + f(t1)D + f(t2)Dt +... + f(tn-1)Dt.

Essa é chamada de soma a esquerda, porque usamos o valor da velocidade na extremidade esquerda de cada intervalo de tempo.

Podemos calcular, também, uma soma a direita usando o...
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