Integral definida

Integral Definida Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx, na qual uma certa grandeza F está variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a e x = b. Você pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a diferença: Variação em F entre x= a e x = b = F(b) – F(a)

O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e é denotado pelo símbolo:

∫
O símbolo

b

f ( x) dx

a

∫

b

f ( x) dx é lido como “ a integral definida de f de a até b”. Os

a

números a e b são denominados limites de integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é freqüentemente conveniente usar o símbolo: F ( x) b para a diferença F(b) – F(a). a Ex.: Um estudo indica que, daqui a x meses a população de uma cidade estará crescendo a uma taxa de 2 + 6 x pessoas por mês. Em quanto a população crescerá durante os próximos 4 meses? Solução: P(x) = população daqui a x meses, então a taxa da variação da população em relação ao tempo dP/dx = 2 + 6 x e a quantidade pela qual a população crescerá durante os próximos 4 meses será a integral definida: P(4) – P(0) = ∫ (2 + 6 x )dx
0 4

= 2∫

4

0

dx + 6 ∫ ( x 1/2 dx
0 3/ 2 4 0 4 0

4

6x + C 3/ 2 = 2x + 4x 3 / 2 + C = 2x +

= (2(4) + 4(4)3/2 + C) – ( 2.(0) + 4(0) + C) = 40 pessoas

Exercícios: 1. Calcular as integrais. a)

−1 2

∫

2

x (1 + x 3 )dx

b)

−3 1

∫ (x

0

2

− 4 x + 7) dx

c)

∫

1

dx x6

d)

∫ ∫
1

dy 3y + 1 x 2 dx x3 + 9

0

3π 4

e)

π 4
3

∫ senx cos dx

f)

−1

g) ∫ ( x 1 + x )dx
0

2. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 +1 e y = 2x – 2 entre x = -1 e x = 2. 3. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = x2 . 4. Encontre a área da região limitada pela curva y = -x2 + 4x – 3 e pelo eixo x. 5. Encontre a área da Região R no primeiro quadrante que se situa sob a curva y = 1/x e é limitado por esta curva e