A Integral Definida

5.5 – A INTEGRAL DEFINIDA
Prof. Telma Regis
3º Semestre – Cálculo II

Licenciatura em Matemática

A Integral Definida
Na secção anterior a medida da área de uma região foi definida como n ∑ n → +∞

A = lim

f (c i ) ∆ x

i =1

Este limite é um caso particular de um novo tipo de processo de limite que nos leva a definição de
Integral Definida.

Definindo...
Seja f a função definida no intervalo fechado [a, b].
Vamos dividir esse intervalo em n subintervalos, escolhendo qualquer dos (n – 1 ) pontos intermediários entre a e b .
Sejam x0 = a e xn = b e x1, x2, ..., xn-1 os pontos intermediários, de tal forma que

x 0 < x1 < x 2 < ... < x n −1 < x n
Os pontos x0 , x1, x2, ..., xn-1 xn não são necessariamente equidistantes.

Seja ∆1x o comprimento do primeiro subintervalos, de tal forma que ∆1x = x1 – x0;
Seja ∆2x o comprimento do segundo subintervalos, tal que ∆2x = x2 – x1; e assim por diante, de forma que o comprimento do i-ézimo subintervalo seja ∆ix

∆ i x = x i − x i −1
Um conjunto de todos esses subintervalos do intervalo
[a, b] é chamado de partição do intervalo [a, b].
Seja ∆ tal partição. A figura ilustra essa partição ∆ de
[a, b]

A partição ∆ possui n subintervalos. Um deles é o maior e pode existir mais de um desses subintervalos.
O comprimento do maior subintervalo da partição ∆, chamado norma da partição, é denotado por ∆ .

Vamos escolher um ponto em cada subintervalo da partição ∆:
Seja ξ1 o ponto escolhido em [x0, x1] de tal forma que x0 ≤ ξ1 ≤ x1.
Seja ξ2 o ponto escolhido em [x1, x2] de tal forma que x1 ≤ ξ2 ≤ x2.
E desta forma sucessivamente, sendo ξi o ponto escolhido em [xi, xi-1] tal que xi-1 ≤ ξ1 ≤ xi.

Formamos, então, a soma

f ( ξ 1 ) ∆ 1 x + f ( ξ 2 ) ∆ 2 x + ... + f ( ξ i ) ∆ i x + ... + f ( ξ n ) ∆ n x
Ou

n

∑

f (ξ i )∆ i x

i =1

Tal soma é denominada Soma de Riemann, assim chamada pelo matemático George Friedrich Bernhard Riemann (1826,
1866)