Integral curvilineo

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 49 (12041 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 26 de abril de 2013
Ler documento completo
Amostra do texto
Integral Curvilíneo
Integral Curvilíneo de uma Função Vectorial sobre uma Curva de I . 17emR 2
Recordemos o Teorema Fundamental do Cálculo Integral para funções r.v.r.: b ”Sendo f : a, b Î I . 17emR, contínua então Þ f x dx  f b f a . ” a O teorema anterior relaciona o integral da derivada de uma função f em a, b com os valores de f na fronteira de a, b . Uma questão que se poderá pôr é aseguinte: será possível generalizar este resultado a Q I . 17emR 2 ? Será que um integral do tipo ÞÞ y dxdy se poderá relacionar com os valores de Q D em fr D ? E que um integral do tipo ÞÞ P dxdy se poderá relacionar com os valores de P em D x fr D ? Para responder a esta questão, introduziremos o conceito de integral curvilíneo. Seja AB um arco de curva contido em I . 17emR 2 e f :ABÎ I . 17emR umafunção contínua. Comecemos por tentar aplicar a definição de integral duplo. Considerando P  e 1 , e 2 , , e n uma partição do arco AB, vem lim ÞÞ AB f x, y dxdy  Î0
n

f x i , y i mes e i  0,
i1

uma vez que a medida à Jordan de e i , mes e i , é nula.

Deste modo, o integral de qualquer função contínua definida numa curva seria nulo, e o conceito seria desprovido de interesse. Surge, assim, anecessidade de introduzir um conceito de medida em AB, diferente do considerado anteriormente. Seja AB um arco de curva contido em I . 17emR 2 , de equações paramétricas xt yt ,t tA, tB

com ,  C 1 t A , t B ,  t A ,  t A  x A , y A e  t B ,  t B  x B , y B . Considere-se uma partição P de t A , t B , definida por t 0 , t 1 , , t n , em que tA  t0 t1 tn  tB. , x n , e uma partiçãoA partição P induz uma partição P 1 em x A , x B , definida por x 0 , x 1 , P 2 em y A , y B , definida por y 0 , y 1 , , y n , tais que

xi   ti yi   ti

, i  0,

, n. ,n 1, sendo

O arco AB surge, assim, subdividido em arcos A i A i1 , i  0, A  A0  xA, yA e B  An  xB, yB .

Consideremos a linha poligonal, inscrita em AB,  i0 A i A i1 . Representemos por C P o in 1 comprimentodessa linha poligonal. Tem-se C P  i0 A i A i1 .
n 1

Definition Diz-se que o arco de curva AB é rectificável se sup C P : P partição de t A , t B existir e for finito. Neste caso, tal supremo designa-se por comprimento de AB. Remark O comprimento de AB pode também definir-se por lim Î0 C P , em que  representa o diâmetro da partição P. Como construir um arco de curva rectificável? Apresentamos,no que se segue, a resposta a esta questão, através da caracterização das funções  e . Assim, sejam f : a, b Î I . 17emR e P uma partição de a, b definida por t 0 , t 1 , , tn .

Definition Designa-se por variação total de f em a, b , e representa-se por V P, f , a quantidade
n 1

V P, f 
i0

|f t i1

f t i |.

Definition Diz-se que f é de variação limitada se sup V P, f for finito.
PRemark De modo equivalente pode dizer-se que f é de variação limitada se lim Î0 V P, f é finito, em que  representa o diâmetro da partição P. Example 1. Seja f : a, b Î I . 17emR uma função crescente. Então f é de variação limitada. De facto, qualquer que seja P  t 0 , t 1 , , t n , partição de a, b , tem-se V P, f  f t 1 f t0  f t2 f t 1  f t n f tn 1  f tn f t0 . 2. De modo análogo, se f édecrescente então também é de variação limitada, uma vez que V P, f  f t 0 f tn . 3. A função f : a, a Î I . 17emR definida por fx  x sin 0
1 x

se x

0

se x  0

não é de variação limitada. Pode provar-se este facto analiticamente e também intuir que "quando x se aproxima da origem, f x oscila infinitas vezes em torno de zero e, nesse movimento oscilatório, a distância total percorrida éinfinita".

A caracterização de funções de variação limitada é feita na proposição seguinte. Proposition Uma função f é de variação limitada se e só se for possível escrever f como soma algébrica de funções monótonas. Estamos agora em condições de caracterizar um arco de curva rectificável através das funções que o definem parametricamente. Assim, Proposition Seja AB um arco de curva de equações...
tracking img