Analise matematica

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ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Engenharia de Ambiente

Apontamentos da disciplina de Complementos de Análise Matemática
Isabel Duarte Ano lectivo 2006/2007 1. Elementos de Análise Vectorial

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1.1. Campos vectoriais Vamos estudar funções que a cada ponto P do plano ou do espaço associa um vector. Estas funções chamam-se campos vectoriais. As suasprincipais aplicações envolvem campos de velocidades, tais como correntes marítimas e velocidades do vento, e campos de forças, como por exemplo o campo de forças gravitacional. De entre os camposvectoriais, uns dos mais importantes são os conservativos, isto é, aqueles em que há conservação de energia (a soma da energia cinética com a energia potencial é constante), como é o caso do campogravitacional e do campo magnético. Os campos gravitacionais são definidos através da lei gravitacional de Newton
F ( x, y, z ) = − Gm1m2 x2 + y2 + z2 u,

sendo G a constante de gravidade, m1 e m2 asmassas das partículas localizadas em (x,y,z) e (0,0,0) e u o vector unitário que vai desde (0,0,0) a (x,y,z). Os campos de forças eléctricas são definidos através da lei de Coulomb
F ( x, y, z ) = cq1q2r
2

u,

sendo q1 e q2 as cargas eléctricas das partículas localizadas em (x,y,z) e (0,0,0), u o vector unitário que vai desde (0,0,0) a (x,y,z) e c uma constante. Estes dois campos sãodefinidos do mesmo modo, F ( x, y, z ) =
k r
2

u=

k r
2

r k = r. 3 r r

Todos os campos assim definidos chamam-se campos quadrado inverso. Na figura seguinte está representado um campo vectorialde uma roda a girar em torno de um eixo.

1. Elementos de Análise Vectorial

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Definição: Sejam M e N funções de x e y definidas numa região R do plano. A função dada porF(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j chama-se campo vectorial sobre R. Sejam M, N e P funções de x, y e z definidas numa região Q do espaço. A função dada por F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k chama-se campo vectorial sobre Q....
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