Pedro norberto naire

Integrais curvilíneos
Os integrais curvilíneos, integrais de uma função f (z) ao longo de uma certa curva no plano complexo, são definidos de forma análoga à usada para definir integrais curvilíneos no plano bidimensional R2
Definição. Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Uma curva em C é o contradomínio de uma função contínua z : [a, b] → C. A função γ é designada por parametrização da curva (de parâmetro real t) e z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b] por equação paramétrica da curva.
Definição. Uma curva C diz-se suave (ou regular) quando as funções x(t) e y(t) têm derivadas contínuas no intervalo [a, b] e o vector z0(t) = x0(t) + iy0(t) não se anula em [a, b].
Exemplo1: A função γ(t) = x(t) + iy(t) tal que x(t) = tyt=t2 , t∈R define a parábola dada, em coordenadas rectangulares, pela equação y = x2. Consideremos a função z : [-1, 2] → C definida por z(t) = t+it2. Dado que x(t) e y(t) são funções contínuas com derivadas contínuas no intervalo -1, 2,C é uma curva suave que corresponde ao arco da parábola y = x2 compreendido entre os pontos z1 = z(-1) = -1 + i e z2= z(2) = 2 + 4i. Note-se que z0(t) = 1+2ti≠0 para -1 ≤ t ≤ 2.
Exemplo2 A circunferência de centro na origem e de raio 1 pode ser parametrizada por γ(t) = cos t + i sin t = eit, t ∈ [0, 2π]. De facto, x2(t) + y2(t) = cos2 t + sin2 t = 1.
Trata-se de uma curva suave visto que x(t) = cost e y(t) = sint são funções contínuas com derivadas contínuas no intervalo [0, 2π] e z0(t) = - sin t + i cos t ≠ 0 para 0 ≤ t ≤ 2π (as funções seno e coseno não têm zeros coincidentes).
Exemplo3: A elipse de centro na origem e de semi-eixos horizontal e vertical com medidas a ≠ 0 e b ≠ 0, respectivamente, tem parametrização z(t) = a cos t + ib sin t, t ∈ [0, 2π]. Com efeito’ x2(t)a+y2(t)b=cos2t+sen2t=1 Trata-se, tal como a circunferência, de uma curva suave.
Exercícios resolvidos 1. Calcule o valor do integral def (z) = 1/z ao longo da curva C, uma circunferência de centro na origem e de raio 2.
Resolução: Uma