Integrais - Matemática

Quadro resumo das integrais imediatas

Cálculo da integral de uma soma de funções
A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das parcelas

Exemplo:
Considere a integral

Cálculo da integral do produto de uma constante por uma função
A integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função.

Exemplo:
Considere a integral

Método de integração por substituição de variáveis
O método consiste em transformar uma integral não imediata em uma integral imediata realizando uma substituição de variáveis.
Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Exemplo 4:

Exemplo 5:

Exemplo 6:

Exemplo 7:

Método de integração por partes
O método consiste em transformar a integral não imediata em um produto de funções conhecidas de onde subtraímos uma integral imediata.
Consideremos duas funções f (x) e g (x). Vamos derivar o produto das funções.
[f (x).g (x)]' = f '(x).g (x) + f (x).g '(x) > f (x).g '(x) = [f (x).g (x)]' - f '(x). g (x)
Integrando ambos os membros da igualdade teremos:

Exemplo 1:
Vamos calcular a integral

Exemplo 2:
Vamos calcular a integral

Exemplo 3:
Vamos calcular a integral

Quando deve ser usado o método de integração por partes
O método de integração por partes é recomendado para os principais tipos que se seguem.
1 - Integrais do tipo onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo u = f(x)  du = f´(x).dx dv = cos(x)dx  v = sen(x) ou u = f(x)  du = f´(x).dx dv = sen(x)dx  v = -cos(x)

Exemplo 1

Exemplo 2

2 - Integrais do tipo

onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo u = f(x)  du = f´(x).dx dv = axdx  v =ax/loge(a)
Exemplo:

3 - Integrais do tipo

onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo u = logax  du = dx/xlogea dv = f(x).dx  v =primitiva de f(x)
Exemplo:

4 - Integrais do tipo usamos a