Indu O Matematica

Aluno: Rodrigo Gabriel Ramos Barros 1ADSB
Indução matemática

Indução matemática é um método de prova matemática usada para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições. A forma mais simples e mais comum de indução matemática prova que um enunciado vale para todos os números naturais n e consiste de dois passos:
1. A base: mostrar que o enunciado vale para n = 1
2. O passo indutivo: mostrar que, se o enunciado vale para n=k, então o mesmo enunciado vale para n=k+1.
Esse método funciona provando que o enunciado é verdadeiro para um valor inicial, e então provando que o processo usado para ir de um valor para o próximo é valido. Se ambas as coisas são provadas, então qualquer valor pode ser obtido através da repetição desse processo. Para entender por que os dois passos são suficientes, é útil pensar no efeito dominó: se você tem uma longa fila de dominós em pé e você puder assegurar que:

O primeiro dominó cairá.
Sempre que um dominó cair, seu próximo vizinho também cairá. então você pode concluir que todos os dominós cairão.
Indução matemática versus indução empírica
Nas ciências naturais, utiliza-se a indução empírica. Ou seja, a partir de um grande número de observações particulares selecionadas adequadamente, formula-se leis que devem reger determinados fenômenos. A validade de um teorema matemático, no entanto, se estabelece de forma completamente diferente. Verificar que certa afirmação vale para um grande número de casos particulares (como se faz nas ciências naturais) não permitirá concluir que esta afirmação é válida. O princípio da indução completa (ou método da recorrência), é utilizado para provar que a proposição vale para todos os casos (ou seja, na verdade há uma proposição para cada caso, freqüentemente um número infinito de casos)
Exemplo
Suponha que desejemos provar o seguinte enunciado:
1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2} para todos os números naturais n. Esta é uma fórmula simples para a soma dos números naturais de 1 a n. A