Indu O Matematica

Seja S = { n Є IN : 1² + 3² + 5² + ... + (2n - 1)² = [ n( 4n² - 1 ) ]/3 }

I ) n = 1 => (2.1 - 1)² = 1 = [1(4.1²-1)]/3 = 3/3 = 1 ok! => 1 Є S
I I )Suponhamos que para n = k seja verdadeiro, isto é , 1² + 3² + 5² + ... + (2.k - 1)² = [ k( 4k² - 1 ) ]/3 ( Hipótese de Indução ) , k Є S
I I I ) Devemos mostrar que para n = k + 1 seja verdade , isto é , 1² + 3² + 5² + ... + (2k - 1)² + [ 2(k +1) - 1)]² = [ (k + 1)( 4(k + 1)² - 1 ) ]/3 } = 1² + 3² + 5² + ... + (2k - 1)² + (2k + 1)² = {(k + 1)[ 4(k + 1)² - 1 ] }/3 ( Tese )
De fato:

1² + 3² + 5² + ... + (2k - 1)² + (2k + 1)² =

Como 1² + 3² + 5² + ... + (2k - 1)² = [ k( 4k² - 1 ) ]/3 , temos que:

{[ k( 4k² - 1 ) ]/3} + ( 2k + 1 )² =

k( 4k² - 1 ) + 3( 2k + 1 )²
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
3
Lembrando que a² - b² = ( a + b )( a - b ), temos:

k( 2k + 1 )( 2k - 1 ) + 3( 2k + 1 )²
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
.......................3

Colocando na forma fatorada( agrupamento ):

( 2k + 1 ).[ k( 2k - 1 ) + 3( 2k + 1 ) ]
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
...........................3
( 2k + 1 ).( 2k² - k + 6k + 3 )
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
......................3

( 2k + 1 ).( 2k² +5k + 3 )
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
....................3

Como 5k = 2k + 3k, fica;

( 2k + 1 ).( 2k² + 2k + 3k + 3 )
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
......................3

( 2k + 1 ).[ 2k(k + 1) + 3(k + 1) ]
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
.......................3
Colocando na forma fatorada:

( 2k + 1 ).[ (2k + 3)(k + 1) ]
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
.....................3
( k + 1 ).[ (2k + 3)(2k + 1) ]
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
.....................3

(k + 1 ).( 4k² + 6k + 2k + 3 )
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
.....................3

(k + 1 ).( 4k² + 8k + 3 )
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
....................3
Vou acrescentar - 4 e 4 , só para efeito de cálculo não vai alterar em nada, certo ?, Então;

( k + 1 ).( 4k² + 8k + 4 - 4+ 3 )
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
......................3

( k + 1 ).( 4k² + 8k + 4 - 1)
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
......................3

( k + 1 ).[ 4( k² + 2k + 1 ) - 1 ]
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ =
......................3

( k + 1 ).[ 4( k + 1 )² - 1 ]
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ( chegamos na