Funcao exponencial

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A UA U L A
LA

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58
Equações exponenciais

Introdução

V

amos apresentar, nesta aula, equações onde
a incógnita aparece no expoente. São as equações exponenciais .
e quações
Resolver uma equação é encontrar os valores da incógnita que tornam a
equação verdadeira. No caso da equação exponencial, para resolvê-la, procuraremos obter sempre uma igualdade de duas potências de mesmabase, pois
sabemos que, se duas potências de mesma base são iguais, então, seus
expoentes também são iguais. Por exemplo, para resolver a equação 3x = 243,
x
podemos decompor o número 243, em fatores primos e escrevê-lo em forma de
potência, assim:
5

3x = 3
logo,

x=5
A solução da equação é x = 5.

Nossa Aula

Você verá, agora, vários outros exemplos de resolução de equaçõesexponenciais.
EXEMPLO 1
Resolver a equação 2x = 2.
Como já sabemos, todo número elevado a 1 (um) é igual a ele mesmo. Então,
podemos escrever:
2x = 21
logo,
x=1
A solução da equação é x = 1.

EXEMPLO 2

AULA
2x

Resolver a equação 5 = 1
Lembrando que um número diferente de zero, elevado a zero, é igual a um,
a equação pode ser escrita assim:
2x

0

5 = 5 Þ 2x = 0 Þ

x=0

Asolução da equação é x = 0.
EXEMPLO 3
Resolver a equação 33x =

1
9

Uma fração, cujo numerador é 1 (um), pode ser escrita na forma de uma
potência de expoente negativo.
Decompondo o denominador da fração em fatores primos, temos:

3

3x

=

1

3

Þ

2

3
3x = - 2

3x

=3

x= -

Þ

-2

2
3

A solução da equação é x = -

2
3

EXEMPLO 4
x-1

Resolva aequação 10
= 0,001
O número 0,001 pode ser escrito com uma potência de expoente negativo, logo:
x-1

10

-3

= 10

Þ

x-1=-3 Þ

x=-3+1 Þ

x = -2

A solução da equação é x = - 2
EXEMPLO 5
Resolver a equação 52x + 1 = 5
Vamos escrever a raiz na forma de potência de expoente fracionário, como
vimos na aula anterior:
1

52x + 1 = 5 2

Þ

2x + 1 =

1
2

2x =

1
-1
22x =

1-2
2

A solução da equação é x = -

1
.
4

Þ

2x = -

1
2

Þ

x= -

1
4

58

AULA

EXEMPLO 6

58

Resolva a equação 4

3x - 5

=4

x-1

Neste exemplo, as potências já estão com as bases iguais, portanto, podemos
igualar diretamente seus expoentes.
3x - 5 = x - 1
3x - x = - 1 + 5
2x = 4
x =2
A solução da equação é x = 2.

EXEMPLO 7Resolva a equação 16x - 3 = 2x + 3
Vamos decompor 16 e escrevê-lo em forma de potência de base 2. Temos que
4
16 = 2 , logo:
4 x -3

4(x - 3)

2

4x - 12

2

=2

x+3

=2

(2 )

x+3

=2

x+3

(vamos aplicar a propriedade da potenciação de potência).

Þ

4x - 12 = x + 3
4x - x

= 12 + 3

3x = 15
x=5
A solução da equação é x = 5.
Em todos os exemplos apresentadosaté agora, poderíamos ter conferido a
resposta, substituindo a solução encontrada na equação dada.

EXEMPLO 8
Resolva e confira a solução da equação
Vamos substituir na equação
-2 x

1
-2
por 10
100

x- 3

(10 ) = 10
-2x

10

x-3

= 10

Þ

Φ1 Ιx =
ΗΚ
100

- 2x = x - 3
- 2x - x =

-3

- 3x =

-3

x=1

10

x-3

Vamos agora fazer a verificação. Substituindox , na equação por 1, temos:

Φ1 Ι =
ΗΚ
100
1

58

1- 3

10

1
-2
= 10 , que é uma sentença verdadeira.
100
Logo, a solução da equação é, de fato, x = 1.

EXEMPLO 9
2x

x-1

Resolva a equação 9 = 27
Nesse exemplo, precisamos decompor as duas bases em fatores primos, ou
seja, 9 = 3² e 27 = 3³. Temos, então:
(3²)2x = (3³)x-1
4x

3

=3

(aplicando a propriedade dapotenciação da potência)

3(x-1)

44x = 33x-3

Þ

4x = 3x - 3

4x - 3x = - 3

Þ

x=-3

Vamos verificar a resposta, substituindo o x por -3.
2 · (-3)

-6

-6

-12

1º membro da equação: 9
= 9 = (3²) = 3
2º membro da equação: 27-3-1 = 27-4 = (3³)-4 = 3-12
Quando substituímos a solução x = -3 nos dois membros obtemos resultados
iguais.
Logo a solução da equação está...
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