Fasores

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Capítulo 2
FASORES E NÚMEROS COMPLEXOS
2. Introdução
2.1 Fasor
2.1.1 Representação Fasorial de uma Onda
Senoidal e Co-senoidal
2.1.2 Diagramas Fasoriais
2.2 Sistema de Números Complexos
2.2.1 Plano Complexo
2.2.2 Operador j
2.3 Forma Retangular e Polar
2.3.1 Forma Retangular
2.3.2 Forma Polar
2.3.3 Identidade de Euler
2.4 Operação Matemática com Grandezas Complexas
2.4.1 Soma2.4.2 Subtração
2.4.3 Produto
2.4.4 Divisão
2.4.5 Potenciação
2.4.6 Raiz N-ésima
2.4.7 Logaritmo
Profa Ruth P.S. Leão Email: rleao@dee.ufc.br URL: www.dee.ufc.br/~rleao
2. Introdução
Os fasores e os números complexos são duas importantes
ferramentas para a análise de circuitos ca. As tensões e correntes
senoidais podem ser matemática e graficamente representadas por
fasores em termos desuas magnitudes e ângulos de fase. O sistema
de números complexos é um meio de expressar os fasores e de
operá-los matematicamente.
2.1. Fasor
Um fasor tem representação gráfica semelhante a um vetor, mas em
geral refere-se a grandezas que variam no tempo como as ondas
senoidais.
O comprimento de um fasor representa sua magnitude, e o ângulo θ
representa sua posição angular relativa ao eixohorizontal tomado
como referência. Os ângulos positivos são medidos no sentido antihorário
a partir da referência (0o) e os ângulos negativos são medidos
no sentido horário a partir da referência.
Figura 2.1: Exemplo de fasores: magnitude e direção.
A Figura 2.2 mostra um fasor de magnitude |A| que gira com
velocidade angular ω.
Figura 2.2: Fasor girante.
θ
90º
180º 0º
270º
magnitude-60º
90º
180º 0º
270º
2
ωt
|A|
90º
180º 0º
Profa Ruth P.S. Leão Email: rleao@dee.ufc.br
2-2
2.1.1 Representação Fasorial de uma Onda Senoidal e Co-senoidal
Um ciclo completo de uma senóide pode ser representado pela
rotação de um fasor que gira 360º. O valor instantâneo da onda
senoidal em qualquer ponto da senóide é igual à distância vertical da
extremidade do fasor ao eixohorizontal, isto é, a projeção do fasor no
eixo vertical.
Figura 2.3 Onda senoidal representada por fasor em movimento.
Figura 2.4 Onda co-senoidal representada por fasor em movimento.
Profa Ruth P.S. Leão Email: rleao@dee.ufc.br
2-3
A Figura 2.4 apresenta a representação de uma onda co-senoidal por
um fasor girante. O valor instantâneo da co-senoide em qualquer
ponto da onda é igual à distânciahorizontal da extremidade do fasor
ao eixo vertical, ou seja, igual à projeção do fasor sobre o eixo
horizontal.
Note que a amplitude do fasor é igual ao valor de pico da onda
senoidal na Figura 2.3 (pontos 90º e 270º) e da onda co-senoidal na
Figura 2.4 (pontos 0o e 180º).
A Figura 2.5 mostra um fasor de tensão em uma posição angular
específica de 45º e o correspondente ponto na ondasenoidal. O valor
instantâneo da onda senoidal neste ponto está relacionado à posição
(θ) e à amplitude do fasor (Vp). Note que quando uma linha vertical é
traçada da extremidade do fasor até o eixo horizontal é formado um
triângulo retangular. O comprimento do fasor é a hipotenusa do
triângulo, e a projeção vertical, o seu cateto oposto. Assim, o cateto
oposto do triângulo reto é igual àhipotenusa vezes o seno do ângulo θ
e representa o valor instantâneo da senóide.
Figura 2.5: Relação matemática entre a senóide e o fasor.
O período e a frequência da onda senoidal estão relacionados à
velocidade de rotação do fasor. A velocidade de rotação do fasor é
denominada de velocidade angular, ω. Quando um fasor gira a uma
velocidade ω, então ωt representa o ângulo instantâneo do fasor quepode ser expresso como θ=ωt.
2.1.2 Diagramas Fasoriais
Como visto anteriormente, uma onda senoidal periódica de frequência
e amplitude constantes pode ser representada por um fasor girante.
Como amplitude e frequência são constantes, tem-se que uma vez
conhecida o valor instantâneo de uma senóide em t=0, em qualquer
tempo o valor da senóide pode ser determinado.
Profa Ruth P.S. Leão...
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