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Valor absoluto ou módulo de 𝑧𝑧

Números Complexos (continuação)

O módulo do complexo 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑖𝑖 é o
número real não-negativo|𝑧𝑧| = �𝑥𝑥 2 + 𝑖𝑖 2 = √𝑧𝑧𝑧𝑧̅

Geometricamente o que é |𝑧𝑧|?

(17)

É o comprimento do vetor 𝑧𝑧; a distância entre o
ponto 𝑧𝑧 e aorigem.

Forma trigonométrica ou polar de 𝑧𝑧
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑖𝑖,

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟,

𝑖𝑖= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 +𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑟𝑟(𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)

(20)

O ângulo θ é chamado de argumento de 𝑧𝑧 e
denotado por arg(𝑧𝑧). A partir da figura
𝑟𝑟= arg(𝑧𝑧) = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑖𝑖
𝑥𝑥

−1 𝑖𝑖
𝑐𝑐𝑐𝑐 � �
𝑥𝑥

(21)

Os ângulossão medidos em radianos e tomados
como positivos no sentido contrário aos
ponteiros de um relógio.
Quando 𝑧𝑧 ≠ 0 é comum expressarmos θ no
intervalo �– 𝜋𝜋, 𝜋𝜋�,segue que:

−π < 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐(𝑧𝑧) ≤ 𝜋𝜋

(22)

Outra definição possível é 0 ≤ arg(𝑧𝑧) < 2𝜋𝜋.

Exemplo1: represente𝑧𝑧 = 1 + 𝑖𝑖 na forma polar.
Represente 𝑧𝑧 no plano complexo.

Exemplo 2: represente 𝑧𝑧 = −1 − 𝑖𝑖 na forma
polar. Represente 𝑧𝑧 no plano complexo. 𝑟𝑟 = arg(𝑧𝑧) = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑖𝑖

Cautela ao...
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