Exercicios de calculo

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Monitor Adan Marcel e Prof. Jomar

Distribuições: Binomial, Poisson e Normal Distribuição Binomial 1. Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de
qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito? SOLUÇÃO: Variável (X): nº depeças defeituosas no lote. Sucesso: peça defeituosa n= 20; p = 80/800 = 0,10 (prob. de sucesso) X~B(20,0.1) P[X≤1] =
+

= 0,3917

2. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergiaentre 13 selecionados ao acaso. SOLUÇÃO: Seja X o número de moradores que têm alergia em 13. Sucesso: ter alergia. p: probabilidade de um indivíduo, selecionado ao acaso, ter alergia; p=0,2. X ~B(13; 0,20), Assim, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia é dada por: P(X ≥ 4) = 1 - P(X≤3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 0,2526 3.(Magalhães, 2004) O escore em um testeinternacional de proficiência na língua inglesa varia de 0 a 700 pontos, com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informações, coletadas durante vários anos, permitem estabelecer o seguinte modelo para o desempenho no teste: Pontos Pi [0,200) 0.06 [200,300) [300,400) [400,500) [500,600) [600,700) 0.15 0.16 0.25 0.28 0.10

Várias universidades americanas exigem um escore mínimo de 600 pontospara aceitar candidatos de países de língua não inglesa. De um grande grupo de estudantes brasileiros que prestaram o último exame escolhemos ao acaso 20 deles. Qual a probabilidade de no máximo 3 atenderem ao requisito mínimo mencionado? SOLUÇÃO: X: Nº de estudantes aptos em 20. Sucesso: apto; p=0,10 (ver tabela: [600; 700]) X~B(20;0,10) P[X≤3] = 0.867 Este valor reflete as altas probabilidadesatribuídas aos escores menores de 600, conforme o modelo de desempenho no teste. 4.(Magalhães,2004) 25% dos universitários de São Paulo praticam esporte. Escolhendo-se ao acaso 15 desses estudantes, determine a probabilidade de: a) Pelo menos 2 deles serem esportistas SOLUÇÃO: X: Universitários que praticam esporte em 15. Sucesso: praticar n=15 ; p=0,25 X~B(15,0,25) P[X≥2] = 1 – P[X2] = 1 – P[X≤2]= 1 – [ 0.0842] = 1 – 0.1246 = 0,8754. Discussão: Como P[X>2] = 0,8754, tem-se um alto índice para tal ocorrência. Portanto, recomenda-se a contração ou remanejamento de funcionários. + = 1 – [0.0067 + 0.00337 +

b) Em um dia de trabalho (8 horas) qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos? A indústria deveria aumentar o nº de atendentes para receber mais de 50 pedidos por dia? SOLUÇÃO: λ =5/hora → λ = 5*8 = 40/dia P[X=50] = = 0,0177

Discussão: P[X>50] = 0,05262805. Logo, em aproximadamente 5% dos casos a industria receberá mais de 50 pedidos. Portanto, se a gerência considerar esse índice alto, pode-se decidir em contratar mais funcionários. Caso contrário, não. 4. A chegada de ônibus em um terminal acontece a razão de 3 por minuto. Supondo que tenha uma distribuição dePoisson, determine a probabilidade de: a) chegarem exatamente 8 ônibus em 2 minutos. SOLUÇÃO: λ=3 ônibus/min X: Nº de ônibus que chegam no terminal num intervalo de tempo (t). X~P(3) ⇒ µ=λ.t=3.2=6 ônibus. P[X=8|t=2] = = 0,1033

b) chegarem exatamente 4 ônibus em 5 minutos. X~P(3) ⇒ µ=λ.t=3.5 = 15 ônibus. λ P[X=4|t=5] = = 0,006

5. A cada ano, ocorrem 450 mortes acidentais por arma de fogo na faixaetária de 15 – 24 anos (National Safety Council, Accident Facts,1996). a) Por semana, qual é o número médio de mortes acidentais por armas de fogo? SOLUÇÃO: λ = 450 mortes por ano.
X: Nº de mortes acidentais num intervalo de tempo (t).

X~P(450) ⇒ µ=λ.t=450.1/52 = 8,65 mortes (t=1 semana). λ

=

= 8,65 mortes por semana em média.

b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não...
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