Equações lineares

Equação algébrica linear
Uma equação algébrica linear típica nas variáveis x1, x2 e x3 é x1 + 2x2 − 3x3 = 5.
Resolvê-la significa determinar todos os valores reais para x1, x2 e x3 que tornam verdadeira a igualdade. Neste caso, explicitando x1 em relação a x2 e x3 na equação, obtemos x1 = 5− 2x2+ 3x3. Para qualquer x2 e x3 reais, basta tomar x1 = 5− 2x2+ 3x3 para obter uma solução. Neste exemplo, temos uma infinidade de soluções, onde podemos variar livremente x2 e x3.
De modo geral, dados os números reais a1, . . . , an e b, uma equação da forma a1x1 + · · · + anxn = b (1.1) é chamada de equação algébrica linear nas variáveis x1, x2, . . . , xn. As variáveis também são chamadas de incógnitas por serem os valores a serem determinados para valer a igualdade. Os números reais ai são chamados de coeficientes e b é a constante da equação. A primeira incógnita com coeficiente não nulo é chamada de variável principal ou incógnita principal e as demais são chamadas de variáveis livres.
Uma matriz coluna real v = [v1, . . . , vn]T é solução desta equação quando a1v1 + · · · + anvn = b.
Diz-se ainda que a ênupla de números reais (v1, . . . , vn) satisfaz a equação.
Uma equação
0x1 + · · · + 0xn = b, em que todos os coeficientes são nulos é degenerada. Se b for igual a zero, então toda matriz coluna [x1, . . . , xn]T é solução. Se b for diferente de zero, a equação degenerada não possui solução.
As equações não degeneradas com duas ou mais variáveis possui infinitas soluções.
Uma equação não degenerado com uma única variável possui uma única solução.
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2 Notas de aula do Prof. Antonio Cândido Faleiros
Exemplo 1.1 Para todo s real, a matriz coluna [7+3s, 2s]T é solução de 2x1 − 3x2 = 8 que, portanto, possui infinitas soluções. A variável s que aparece neste exemplo é chamado de parâmetro.
O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado conjunto solução ou solução geral. Cada elemento deste conjunto é, evidentemente, uma solução e,