Equações Lineares Homogeneas

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

Sucessões, Séries e Equações Diferenciais

EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
Equações de 2ª Ordem:
Uma equação linear homogénea de coeficientes constantes de 2ª ordem é da forma y′′ + py′ + qy = 0 , com p e q números reais. Para resolver a equação escreve-se a equação
2
característica, s + ps + q = 0 , que resulta de procurar soluções da forma y = e sx , s ∈

. A

natureza das raízes da equação característica determina as duas soluções linearmente independentes da equação diferencial.
− p ± p 2 − 4q − p ± Δ s + ps + q = 0 ⇔ s =
=
; Δ = p 2 − 4q
2
2
2

Temos 3 casos a considerar:
(1) Δ > 0 . A equação característica tem duas raízes reais distintas, s = s1 e s = s2 . sx s x
As soluções linearmente independentes da equação diferencial são: y1 = e 1 e y2 = e 2 . sx s x
A solução geral da equação diferencial é: y = c1e 1 + c2 e 2 .

(2) Δ = 0 . A equação característica tem uma raiz real dupla, s = s1 . sx sx
As soluções linearmente independentes da equação diferencial são: y1 = e 1 e y2 = xe 1 . sx sx
A solução geral da equação diferencial é: y = c1e 1 + c2 xe 1 .

(3) Δ < 0 . A equação característica tem duas raízes complexas conjugadas: s1 = α + iβ e s2 = α − iβ . αx As soluções linearmente independentes da equação diferencial são: y1 = e cos ( β x ) e

y2 = eα x sen ( β x ) . αx αx
A solução geral da equação diferencial é: y = c1e cos ( β x ) + c2 e sen ( β x ) .

Equações Lineares Homogéneas de Coeficientes Constantes

1

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

Sucessões, Séries e Equações Diferenciais

Equações de Ordem n:

A determinação da solução geral duma equação diferencial linear homogénea de
( )
(
coeficientes constantes de ordem n , y + a1 y n n −1)

+ a2 y(

n − 2)

+ … + an−1 y′ + an y = 0 , faz-se da

mesma forma que o exposto para a 2ª ordem:

(1) Determinam-se as raízes da equação característica: s n +