Integral edo

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5. Equações lineares não homogéneas.

Secção 5. Equações lineares não homogéneas.
(Farlow: Sec. 3.6 a 3.8)
Vimos na secção anterior como obter a solução geral de uma EDO linear
homogénea. Veremos agora como resolver o problema das equações não homogéneas. O
seguinte teorema ser-nos-á extrema mente útil:

Teorema
Solução geral
da equação
não
homogénea

Se yp for uma soluçãoparticular qualquer da equação não homogénea:
y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = f ( x)

e y1 e y2 forem duas soluções particulares linearmente independentes da equação linear
homogénea correspondente
y ' '+ p ( x ) y '+ q( x) y = 0 ,

então qualque r solução da equação não homogénea pode ser expressa na forma:
y = y h + y p = C1 y1 + C2 y2 + y p .

Para o caso geral de uma EDO não homogénea deordem n viria:
y = y h + y p = C1 y1 + C2 y 2 + C3 y3 + ... + C n y n + y p

É bastante simples demonstrar este teorema. Quer y (a solução geral), quer yp (a
solução particular), verificam da EDO não homogénea:
y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = f ( x)

y p ' '+ p ( x ) y p '+ q( x) y p = f ( x ) .

Subtraindo uma equação pela outra:
( y − y p )' '+ p ( x )( y − y p )'+ q( x)( y − y p ) = 0.

Ou seja, (y - yp ) é solução da equação homogénea. Mas vimos na secção anterior que a
solução única da equação homogénea é: y h ( x) = C1 y 1 ( x ) + C2 y 2 ( x) . Logo:
y − y p = y h ⇒ y = y h + y p = C1 y1 ( x) + C 2 y 2 ( x) + y p , c.q.d.

Podemos agora delinear a estratégica de resolução de uma EDO não homogénea :
1. Encontrar a solução geral da equação homogénea correspondente (yh):

Página 1 da Secção 5

5. Equações lineares não homogéneas.

y ' '+ p ( x ) y '+ q( x) y = 0

yh = C1 y1 + C2 y2
2. Encontrar uma solução particular da equação não homogénea (yp ):
y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = f ( x)

y p = ...

3. Obter a solução geral da equação não homogénea (y ):
y = yh + y p

Mas… e como encontramos a solução particular da equação não homogénea, yp?
Vamos ver alguns métodos que podem permitir responder a esta questão.
Método dos coeficientes indeterminados
Este método aplica-se a equações de coeficientes constantes em que o termo f(x) é
uma exponencial, um polinómio, um seno, um coseno ou um produto dessas funções.
Vamos ilustrar a sua aplicação com alguns exemplos.

Exemplo 1
f(x) é uma exponencial :
y ' '+ y '−2 y = 3e 2x
Usandoum raciocínio semelhante ao da Secção 4, concluímos que uma função cuja
combinação linear com as suas derivadas possa gerar a exponencial é a própria exponencial.
Assim, fará sentido dizer que uma solução particular desta EDO não homogénea terá a
forma:

y p = Ae2 x .
O coeficiente A é obtido por substituição de yp na EDO:
4 Ae 2x + 2 Ae 2 x − 2 Ae 2 x = 3e 2x ⇒ A =

3
.
4

Logo:Página 2 da Secção 5

5. Equações lineares não homogéneas.

yp =

3 2x
e.
4

E a solução geral da equação linear não homogénea será (yh já tinha sido obtido num
exemplo da Secção 4):
y = y h + y p = C1e − 2x + C2e x +

3 2x
e.
4

Exemplo 2
f(x) é um polinómio:
y ' '+4 y = 8 x 2
Se o resultado da combinação de yp c om as suas derivadas é um polinómio de ordem
n, então yptambém deverá ser também um polinómio de ordem n :

y p = Ax 2 + Bx + C
Determinamos os coeficientes substituindo yp na EDO. Primeiro calculamos yp ’ e yp ’’:
y p ' = 2 Ax + B
y p' '= 2A

Substituindo:
2 A + 4 Ax 2 + 4 Bx + 4C = 8 x 2

4 Ax 2 + 4Bx + (2 A + 4C) = 8 x 2

 4A = 8

 4B = 0 ⇒
2 A + 4C = 0


 A= 2

 B =0
C = − 1


Ou seja, a solução particular é:

y p =2x2 − 1
E a solução geral é (yh já era conhecido):
y = C1 cos( 2 x) + C2 sin( 2 x) + 2 x 2 − 1

Página 3 da Secção 5

5. Equações lineares não homogéneas.

Exemplo 3
f(x) é um seno (ou um coseno ):
y ' '− y = 2 sin x

yp poderá ser a combinação linear de um seno com um coseno:
y p = A sin x + B cos x
y p ' = A cos x − B sin x
y p ' ' = − A sin x − B cos x

Substituindo na EDO:...
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