Equações diferenciais parciais

Plano de Aula
AULA 10: INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS Objetivo: Campo de velocidade Descrições Lagrangeana e Euleriana Escoamentos uni, bi e tridimensional Velocidade e aceleração Equação da continuidade – forma diferencial Circulação Rotação Deformação
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Equação da quantidade de movimento – forma diferencial

Campo de velocidade

V = V ( x, y , z , t ) ˆ ˆ V = u (x, y, z , t )i + v( x, y, z , t ) ˆ + w( x, y, z , t )k j
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Descrições Lagrangeana e Euleriana

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Escoamentos uni, bi e tridimensional
Escoamento tridimensional : V = V ( x, y, z , t )

Escoamento unidimensional : V = V (x, t )

Escoamento bidimensional : V = V (x, y, t )

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Escoamentos uni, bi e tridimensional

Escoamentos em regime permanente e transitórios ∂V permanente → =0 ∂t ∂V transitório → ≠0 ∂t

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Escoamentos uni, bi e tridimensional

Linhas de corrente, linha de emissão e trajetória

dy v = dx u

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Velocidade e aceleração

d 2 s d  ds  dv ds dv dv = =v as = 2 =   = dt dt  dt  dt dt ds ds v2 ar = − r
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Velocidade e aceleração

Em linguagem euleriana: u = u ( x, y ) e v = v ( x, y ) Descrição lagrangeana: u= dx dy e v= dt dt
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Velocidade e aceleração

Em coordenadas cartesianas: du dv ax = e ay = dt dt ∂u ∂u ∂v ∂v du = dx + dy e dv = dx + dy ∂x ∂y ∂x ∂y Substituindo em ax e a y : d  ∂u ∂u  ∂u ∂u ax =  dx + dy  = u +v dt  ∂x ∂y  ∂x ∂y d  ∂v ∂v  ∂v ∂v a y =  dx + dy  = u + v dt  ∂x ∂y  ∂x ∂y
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Velocidade e aceleração

Em coordenadas polares: dr dθ vr = e vt = r dt dt ∂vr ∂vr vt2 ar = vr + vt − ∂r ∂θ r ∂vt ∂vt vr vt at = vr + vt + ∂r ∂θ r

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Velocidade e aceleração
Exemplo 1: Quando um fluido incompressível, sem viscosidade, escoa contra uma placa plana (escoamento bidimensional), uma solução exata para as equações do movimento é dada por vx = Ax, vy = -Ay, com A > 0 para o desenho a seguir. A origem das coordenadas é localizada no ponto de estagnação 0, onde o escoamento se divide e a velocidade local é nula. Encontre as velocidades