equacoes nao lineares newton raphson

SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES
Atualizado em 14/05/2015
Introdução
A solução de um sistema não-linear consiste em determinar pontos no subespaço do problema que solucione o conjunto de equações. Os pontos de solução estão na interseção das curvas que representam as equações.
Para exemplificar, seja o sistema de equações não lineares composto de duas equações:
3
x2
2.5

 f ( x1, x2)  x1  2 x2  3  0

2
2
 f ( x1, x2)  3x1  x2  7  0

2

1.5

1

0.5

x1

0
-3

-2

-1

0

1

2

3

Como pode ser observado na figura, têm-se dois pontos de interseção. Estes dois
T
T pontos pertencentes ao subespaço  2 , x  1,461538 0,769230 e x   1 2 , são soluções do sistema.

Método de Newton-Raphson para Sistemas de Equações Não-Lineares
Os métodos para resolução de sistemas não lineares são iterativos, isto é, a partir de um ponto inicial x(0), geram uma sequência {x(k)} de vetores e, na situação de convergência:
‖

‖

{|

|

|

|}

Seja o sistema de equações não-lineares: f 1 ( x1 , x 2 ,......., x n )  0 f 2 ( x1 , x 2 ,......., x n )  0

f n ( x1 , x 2 ,......., x n )  0

Profa. Noiza Waltrick Trindade – [e-mail]
Material elaborado baseado no documento retirado do link: http://www.labspot.ufsc.br/~campagno/numerico/Aula_14_Sistemas_NL.doc Pág. 1

O sistema pode ser representado de forma vetorial:

onde: x  x1

x2

F ( x)  0

 xn 

T

Como no Método de Newton para equações escalares, a cada iteração determina-se a reta tangente ao gráfico da função no ponto inicial. No caso de sistemas de equações, determina-se o hiperplano tangente ao politopo determinado pelos sistemas de equações no ponto inicial. O processo é semelhante ao caso escalar, no qual se utiliza da expansão em
Série de Taylor vetorial no ponto x(0).
F ( x)  F ( x

( 0)

)  J (x

)( x  x

( 0)

( 0)

)

onde:
 f1 ( x ( 0 ) )

 x1( 0 )
 f 2 ( x )
(0)
J ( x )   x
1



(0)
 f n ( x )
 x
1


f1 ( x )
x2
(0)
f 2 ( x )
x2

(0)
f n ( x )
x2
(0)

( 0)
f1 (