Engenharia

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Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia de Computa¸ao e Automa¸ao c˜ c˜ http://www.dca.ufrn.br/

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Introdu¸˜o ca

´ E bastante comum em engenharia a realiza¸ao de testes de laborat´rio para a valida¸ao c˜ o c˜ de sistemas reais. Os resultados s˜o obtidos na forma de pontos cujocomportamento a demonstra o relacionamento de uma vari´vel independente (ou explicativa) com uma, ou a mais, vari´vel dependente (ou resposta). O gr´fico destes pontos ´ chamado de diagrama a a e de dispers˜o (ver figura 1). a

y

x Figura 1: Exemplo ilustrativo de um diagrama de dispers˜o. a Entretanto, dado um diagrama de dispers˜o, ´ pouco prov´vel que haja uma curva a e a que passe exatamente porcada ponto e que descreva fielmente o sistema observado em laborat´rio. A raz˜o disto ´ que a obten¸ao de dados experimentais possuem erros ineo a e c˜ rentes ao processo. Al´m do mais, algumas vari´veis podem sofrer altera¸oes durante a e a c˜ experiˆncia, o que ir´ provocar desvios na resposta. e a Dessa forma, para definir uma fun¸ao anal´ c˜ ıtica que descreva o sistema n˜o se deve a optar por umaforma polinomial interpoladora dos pontos fornecidos, e sim uma curva que melhor se ajusta a estes pontos levando em considera¸ao a existˆncia de erros que, c˜ e em geral, n˜o s˜o previs´ a a ıveis (ver figura 2). Uma das vantagens de se obter uma curva que se ajusta adequadamente a estes pontos, ´ a possibilidade de prever os valores da fun¸ao (vari´vel dependente) para valores da e c˜ a M´todos Computacionais em Engenharia (DCA0304) e

2

y

y

(a)

x

(b)

x

Figura 2: Exemplos ilustrativos de uma curva polinomial interpoladora (a) e uma curva que se ajusta aos pontos de um diagrama de dispers˜o (b). a a a e ıvel vari´vel explicativa que est˜o fora do intervalo fornecido. Ou seja, ´ poss´ fazer uma extrapola¸ao com uma aproxima¸ao razo´vel. c˜ c˜ a Como o sistema daexperiˆncia ´ descrito por um conjunto de pontos, ent˜o a abordae e a gem a ser apresentada ser´ v´lida para os casos discretos. Assim, o problema de ajuste de a a curvas no caso em que se tem uma tabela de pontos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . ., (xn , yn ), com xi pertencentes ao intervalo [a, b], consiste em dadas m + 1 fun¸oes g0 (x), g1 (x), . . ., gm (x), c˜ cont´ ınuas em [a, b], obter m + 1coeficientes β0 , β1 , . . ., βm de tal forma que f (x) = β0 g0 (x) + β1 g1 (x) + . . . + βm gm (x) se aproxime de y(x), que fornece os valores y1 , y2 , . . ., yn dos pontos tabelados. Este ´ um modelo matem´tico linear do sistema real pois os coeficientes βi a serem e a determinados aparecem linearmente arranjados, embora as fun¸oes gi (x) possam ser n˜oc˜ a x 2 lineares, como g0 (x) = e e g1 (x) = 1 +x , por exemplo. O grande problema ´ como escolher adequadamente estas fun¸oes. Para isto, normale c˜ mente faz-se a observa¸ao do diagrama de dispers˜o para ver a forma geral dos pontos, c˜ a ou ent˜o deve-se basear em fundamentos te´ricos do experimento que fornece a tabela. a o Uma id´ia para que a fun¸ao f (x) se ajuste aos pontos yi ´ fazer com que o desvio, ou e c˜ e erro, di = yi − f (xi )seja m´ ınimo para todo i = 1, 2, . . . , n. Assim, definindo uma medida mais abrangente que envolve a soma destes desvios elevados ao quadrado tem-se:
n

D(β0 , β1 , . . . , βm ) =
i=1 n

d2 i [yi − f (xi )]2 [yi − β0 g0 (x) − β1 g1 (x) − . . . − βm gm (x)]2

=
i=1 n

=
i=1

O que se busca ent˜o ´ determinar os βi ’s para que D(·) seja m´ a e ınimo. Este processo de minimiza¸ao ´chamado de M´todo dos M´nimos Quadrados, uma vez que D(·) ´ definido c˜ e e ı e por uma soma de quadrados. Do c´lculo diferencial, sabe-se que para determinar o valor m´ a ınimo de uma fun¸ao c˜ (ou o seu valor cr´ ıtico) deve-se derivar parcialmente esta fun¸ao em rela¸ao as vari´veis c˜ c˜ ` a

M´todos Computacionais em Engenharia (DCA0304) e

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independentes. Dessa forma: ∂D = 2· ∂β0...
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