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Distribuição Normal
1. Introdução 2. Modelo Matemático 3. Padronização 4. Análise Gráfica 5. Aplicação 6. Exercícios

Introdução
• É a distribuição de probabilidade mais importante na estatística • Abrange um grande número de fenômenos • Oferece base para inferência estatística clássica devido à sua afinidade com o teorema do limite central

Introdução
• • Possui gráfico simétrico, emformato de sino As medidas de tendência central: média, moda e mediana; são todas idênticas (simetria)

O Modelo Matemático
• A função de densidade da probabilidade da distribuição normal é:

1 − ( 0,5)[( X − µ ) / σ ]2 f ( x) = e 2π σ
• Felizmente, não precisamos usar esta exaustiva fórmula, uma vez que podemos trabalhar com padronização de dados, usando apenas uma tabela

Padronizando aDistribuição Normal
• Utilizando a fórmula de transformação, qualquer variável aleatória normal X é convertida em uma variável normal padronizada Z

onde:

X− µ Z= σ

σ é o desvio padrão μ é a média aritmética

Análise Gráfica
• Na distribuição normal padronizada, a variável Z possui média 0 e desvio padrão 1 • Z é variável contínua que representa o número de desvios a contar da médiaPossíveis valores de Z

-3σ

-2σ

-1σ

μ=0







Análise Gráfica
• A área sob a curva corresponde à probabilidade de a variável aleatória assumir qualquer valor real, deve ser um valor entre 0 e 1 • Valores maiores que a média e os valores menores têm a mesma probabilidade, pois a curva é simétrica
Possíveis valores de Z Área sob a curva = 1

-3σ

-2σ

-1σ

μ=01σ





Análise Gráfica
• 68% dos valores de Z estão entre -1σ e 1σ • 95,5% dos valores de Z estão entre -2σ e 2σ • 99,7% dos valores de Z estão entre -3σ e 3σ

Possíveis valores de Z

-3σ

-2σ

-1σ

μ=0







Aplicação - Um significado prático para o que aprendemos
1. Suponha um consultor investigando o tempo que os trabalhadores de uma fábrica levam paramontar determinada peça. 3. Suponha que análises da linha de produção tenham calculado tempo médio de 75 segundos e desvio padrão de 6 segundos 5. O que isto significa graficamente?

Aplicação - Um significado prático para o que aprendemos

Escala de Z Escala de X

-3σ 57

-2σ 63

-1σ 69

μ=0 75

1σ 81

2σ 87

3σ 93

Aplicação - Um significado prático para o que aprendemos• Ainda na Escala de X, o tempo central é a média de 75 segundos Na Escala de Z, a média é 0 e os intervalos tem como base o desvio padrão. Mas, assim como X, a variável Z é contínua Pergunta: como 87, na Escala de X, pode ser relacionado a 2σ, na Escala de Z? Conseguiram responder? A seguir temos duas explicações.







Aplicação - Um significado prático para o que aprendemos
• NaEscala de Z, 2σ significa dois desvios padrões a partir da média (0+ 2σ= 2σ), na Escala de X, este deslocamento é análogo (75+2*6=87) Outra forma de relacionar estes valores é através da fórmula de transformação apresentada anteriormente:



X − µ 87 − 75 12 Z= = = = 2 σ 6 6
Dúvidas?

Aplicação - Um significado prático para o que aprendemos
• Suponha agora, que o consultor queira saber quala probabilidade de um trabalhador levar um tempo entre 75 e 81 segundos para montar uma peça, ou seja, P(75≤X≤81). Como proceder?


Transformar as variáveis X em variáveis normais padronizadas Z:

75 − 75 0 Z= = = 0 6 6

81 − 75 6 Z= = =1 6 6

Logo temos a probabilidade P(0≤Z≤1), que é ilustrada a seguir, e cujo valor é determinado consultando a tabela no slide seguinte.

Aplicação -Um significado prático para o que aprendemos

Escala de Z Escala de X

-3σ 57

-2σ 63

-1σ 69

μ=0 75

1σ 81

2σ 87

3σ 93

Área sob a Curva Normal
(tabela parcial)
Z 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,01 0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,1950 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,3438 0,02 0,0080...
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