Elementos de mauinas

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Dimensionamento de Vigas e Eixos

9.0 – Dimensionamento de eixos e vigas. 9.1 – Critérios de Resistência. No dimensionamento dos elementos de máquinas e estruturas, como os eixos e as vigas, vários são os critérios que podem ser utilizados para o estabelecimento de suas dimensões mínimas, compatíveis com as propriedades mecânicas dos materiais utilizados, obtidas nos ensaios em laboratório.Tais critérios surgem quando se busca a resposta à seguinte questão básica: - quando ocorrerá a ruína* do material da peça carregada? *(entendemos como “ruína” a deterioração do material, por ruptura, por plastificação, por
ser ultrapassado o limite de proporcionalidade, ou de escoamento etc, dependendo de seu uso).

Várias poderiam ser as hipóteses (teorias) para sustentar uma resposta a talquestão:
- a ruína ocorre quando a maior tensão normal presente ultrapassar o valor da tensão normal ocorrente quando da ruína do corpo de prova no ensaio de tração (ou compressão) do material; - a ruína ocorre quando a maior tensão tangencial presente ultrapassar o valor da tensão tangencial ocorrente quando da ruína do corpo de prova no ensaio do material correspondente; - a ruína ocorre quando amaior deformação longitudinal presente ultrapassar o valor da deformação longitudinal ocorrente quando da ruína do corpo de prova no ensaio do material; - a ruína ocorre quando a maior energia específica de distorção presente ultrapassar o valor da energia de distorção por unidade de volume ocorrente quando da ruptura do corpo de prova no ensaio do material. - outras...

Como se verá, não háresposta única, válida para qualquer situação: o critério que mais se coaduna com os resultados obtidos em laboratório dependerá do tipo do material e do tipo do carregamento. 9.2 – Teorias das Máximas Tensões. Válido para materiais frágeis (duros, quebradiços, que se rompem nos planos onde a tensão normal é extrema) é o critério da máxima tensão normal, segundo o qual haverá ruína quando, em certoponto do corpo, a tensão principal ultrapassar o valor da tensão de ruína no ensaio uniaxial do material. Portanto, o dimensionamento, para um dado
CS, deve ser feito atendendo ao requisito (Critério de Coulomb):

½ (σx + σy) + √ [½ (σx - σy)] 2 + (τxy )2 < σlim/CS...(9.2.1) Para materiais dúteis (macios, flexíveis, que se rompem nos planos onde a tensão tangencial é extrema), é o critério damáxima tensão tangencial o que melhor se coaduna, considerando que haverá ruína quando, em certo ponto, a tensão máxima de cisalhamento ultrapassar o valor da tensão tangencial ocorrente (a 45º) no ensaio de tração do material (τmáx = ½ σlimite). O dimensionamento (para
um dado CS) deve atender a que (Critério de Tresca):
45º

Planos de Clivagem

(a)

(b)

√ [½ (σx - σy)] 2 + (τxy )2 < ½σlim/CS .....(9.2.2) dá por cisalhamento até que a redução
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Fig.9.1 – Tipos de fratura no ensaio de tração (a) material frágil; b) material dútil (inicialmente, a fratura se
da área provoca a ruptura por tração).

Dimensionamento de Vigas e Eixos

Exemplo 9.2.1 – Dimensionar o eixo maciço a ser fabricado em aço 1020 (tensão limite de escoamento σesc = 200MPa), de forma a transmitir umtorque T = 10 kN.m, sob um momento fletor M = 15 kN.m., com um coeficiente de segurança 1,6 ao escoamento.

Solução: Para um eixo de seção circular submetido a um torque T e um momento fletor M, o ponto da periferia mais solicitado estará submetido às seguintes tensões (a tensão tangencial devido a Q é desprezível para um eixo maciço) σ = (Μ/Ι) (d/2); τ = (Τ/JP) (d/2); sendo JP = πd4/32 e I = ½ JPComo se trata de um material dútil (baixo teor de Carbono), utilizaremos o critério da máxima tensão tangencial. τmáx = √ [½ (σx - σy)] 2 + (τxy )2 =√[½ (Μ/Ι)d/2]2+ [(T/JP )2d/2]2

τmáx = [( M2 + T2 )1/2 / JP] (d/2)
2 2 1/2

Interessante notar que o termo (M + T ) representa o módulo do vetor momento total atuante na seção (M + T) (chamado momento “ideal”). Para o caso em análise, como...
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