Dl base

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14/08/2012

Álgebra Linear

Dependência Linear e Base

Unidade 2. Dependência Linear e Base
•Dependência Linear
•Base no Espaço
•Vetores no Plano

•Vetor definido por dois pontos
•Vetor Posição
•Soma de vetores da base
•Ponto médio
•Módulo de um vetor
•Distância entre dois pontos
•Vetor unitário
•Vetores no Espaço

Álgebra Linear

Dependência Linear e Base

•Dependência Linear
Dados os vetores u,v e w e os coeficientes reais a, b, c, onde au+bv+cw=0. O
conjunto dos vetores {u,v,w} é linearmente independente se e somente se
a=b=c=0 simultaneamente. Analisando os detalhes.
1. Dado {u,v} onde u=-2v  u//v

Então {u,v} é linearmente
dependente (LD)
2. Dado {u,0} caso particular de 1

Então {u,0} é linearmente
dependente (LD)
3. Dado {u,v} la/v=au
Então {u,v} é linearmente
independente (LI)Caso Particular de
au+bv=0
Onde a=1 e b=2


u

Caso Particular de
au+b0=0
Onde a=0 e b


u

Portanto se
au+bv=0
a=0 e b=0


v


0


v

u

1

14/08/2012

Álgebra Linear

Dependência Linear e Base

4. Dado {u,v,w} onde w=u+v 
u+v-w=0
Então {u,v,w} é linearmente
dependente (LD)

Caso Particular de
au+bv-cw=0
Onde a=1, b=1 e

w
c=-1

5. Dado {u,v,0} Caso particular de 4
Então {u,v,0} élinearmente
dependente (LD)

Caso Particular de
au+bv+c0=0
a=b=0
c

6. Dado {u,v,w} sendo u=2v então
u-2v+0w=0
Então {u,v,w} é linearmente
dependente (LD)

Caso Particular de
au+bv+cw=0
Onde a=1, b=-2 e
c=0

7. Dado {u,v,w} no espaço
Então {u,v,w} é linearmente
independente (LI)

au+bv+cw=0
Implica que
a=b=c=0

Álgebra
Álgebra Linear


v


w


u


v


w


u


u

w


v


w


u

vDependência Linear e Base

•Base no Espaço
Uma base no espaço é uma terna ordenada (v1,v2,v3), se o
conjunto de vetores {v1,v2,v3} é linearmente independente
(LI) isto é v1,v2,v3 não são nulos e nem coplanares, então
existe uma terna de números reais a, b, c tais que
v=av1+bv2+c v3, qualquer que seja v no espaço.

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14/08/2012

Álgebra Linear

Dependência Linear e Base

•Vetores no Plano




Sejam u1 e u2 , não paralelos com a mesma origem conforme vemos a seguir:
s2

r

u2


Os vetores u , v , w, r representados:


u

u1

s1

v


w




u = 3u1  3u 2



r = 2u1  2u 2



w = u1  2u 2


v = 2u1  u 2





São combinação linear de u1 e u 2

Em geral, para cada u no plano há
apenas dois números a1 e a2 tal
que: u=a1u1+a2u2

Nestas condições {u1 ,u2} é chamado de base noplano se os vetores NÃO são paralelos
NEM nulos.
Consequentemente, todos os vetores do plano são expressos como combinação linear
dos vetores da base.
a1 e a2 são chamados de coordenadas e u pode ser também representado como
u=(a1,a2)

Álgebra Linear

Dependência Linear e Base

Na prática utiliza-se as bases ortonormais se os vetores são perpendiculares entre si.
y

uy
ˆ = (0,1)
j


u


ux

ˆjA base ˆ, ˆ ou i , ˆ  é chamada de base canônica no
ij
plano.


uy

x

ˆ
i = (1,0)

O vetor u é uma soma de dois vetores: u=ux+uy

Onde: u x = u xiˆ


uy = uy ˆ
j

u = u xiˆ  u y ˆ
j

Coeficientes ou coordenadas do espaço
abscissa
Ordenada (afastamento)

ˆj
Desta forma o vetor u na base i , ˆ  pode também ser escrito como:

Exemplo:


u = (u x , u y )


ˆ
a = 3i  4 ˆ = (3,4)
j

ˆj
b= 6i  ˆ = (6,1)

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14/08/2012

Álgebra Linear

Dependência Linear e Base

•Vetor definido por dois pontos
y

Dados dois pontos no espaço A e B: o

vetor v = AB
pode ser definido através
da soma dos vetores que definidos a partir
da origem dos sistema de coordenadas

y1
y2

o

x1

OB = OA  AB

x

x2

AB = OB  OA
Exemplo: Dados os pontos no
espaço, A(1,5) e B(3,2),
determine o vetor AB.
AB= (3  1,2  5)
AB = (2,3)

AB = ( x2 , y2 )  ( x1 , y1 )
AB = ( x2  x1 , y2  y1 )

Este vetor nada mais é do que o vetor AB
representado a partir da origem do sistema de
coordenadas . É chamado de vetor posição ou
representante natural de AB .

Álgebra Linear

Dependência Linear e Base

•Vetor Posição
y

v

y1
y2

o

x1


v

x2

P(x2-x1,y2-y1)

x

O vetor v que liga a origem do
sistema...
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