Derivadas

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Exercícios Complementares de Cálculo Diferencial e Integral I Assunto: Derivadas
Q1. Calcule as derivadas das funções abaixo: a) b)

f  x =5x3 → f '  x=5 . 3. x 3−1 → f '  x=15 x 2
1 −1 1 −1 1 1 → f '  x= x 2 → f '  x= f  x =2  x → f  x =2 x 2 → f '  x=2. . x 2 2 x

c)

f  x =

5 f  x =5x−4 → f '  x=5. −4 x−4−1 → f '  x=−20x−5 → 4 → x −20 5 x

→ f '  x=d)

−1 3 −1 −1 −4 3 −1 f  x = 1 → f  x = 3 3 → → f '  x=3. → f '  x=−x 3 . x 3 f  x =3x 3 x x3

→ f '  x= 3 e)

−1 −1 −1 f '  x= 3 3 → f '  x= 3 4 → xx x x .x

f  x =7x 21 → f '  x=7. 2 . x 2−10 → f '  x=14x 2x 3 3x 2 x 2 2. 3 . x 3−1 3. 2 . x 2−1 1 . x 1−1  −  → f '  x=  − 0 → 9 4 3 5 9 4 3 2x2 3x 1  − 3 2 3

f) f  x =

→ f '  x= g) h)

4 34−1 3−1 3 2 f  x =x −3x 7 → f '  x=4x −3 . 3. x 0 → f '  x=4x −9x

f  x =

2  x 2 → f  x =2x−3x 2 → f '  x=2 .−3 . x−3−12 . x 2−1 → 3 x −6 2x x4

→ f '  x=−6x−42x → f '  x=

Q2. Encontre, em cada caso, uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x), no ponto x 0 especificado: Resolução: m = inclinação da reta tangente =

f '  x 0

forma ponto ( x 0 ,f  x 0 ) - inclinação ( f '  x 0 ) da equação de uma reta:

y− f  x 0 = f '  x 0 . x− x 0

a)

f  x =

1 , x

x 0=1 f  x 0 = 1 1 → f 1= → f 1=1 x0 1

* para

x 0=1 ,

Ponto (1 , 1) *

f  x =x

−1

→ f '  x=−x −2 → f '  x=

−1 −1 → f ' 1= 2 → f ' 1=−1 2 x 1

* Equação da reta tangente:

y− f  x0 = f '  x 0 . x−x 0  → y−1=−1 x−1 →y−1=−x 1 → x y −2=0

b)

f  x = x ,
x 0=4 ,

x 0=4 f  x 0 = x 0 → f 4 =  4 → f 4 =2

* para

Ponto (4 , 2) *

f  x =x

1 2

→ f '  x= . x

1 2

−1 2

→ f '  x=

1 2x

→ f ' 4=

1 2 4

→ f ' 4=

1 4

* Equação da reta tangente:

1 x y− f  x0 = f '  x 0 . x−x 0  → y−2= . x−4 → y−2= −1 → 4y−8=x−4 → 4 4 → −x4y−4=0

c)

3 f  x = x2 ,

x 0=2  2

* para

x 0=2  2 ,

f 2  2= 2  2


3 2

2

3 → f 2  2=  8 → f 2  2=2

Ponto ( 2  2 ,2 ) *

f  x =x

2 3

→ f '  x= . x 3

2 3

−1

→ f '  x= . x

2 3

−1 3

→ f '  x=

2 3x
3



→ f ' 2  2=

2 2 2 2 → f ' 2  2= 3 → f ' 2  2= 6 3 → f ' 2  2= → 3 2 32 3 2 2 3 4 .2
3

→ f ' 2  2=

2 2 22 → f ' 2  2= → f ' 2  2= 3.2 3 3 2 2

2

.

* Equação da reta tangente:

y− f  x0 = f '  x 0 . x−x 0  → y−2=  2 .  x−2  2 → y−2=  2 . x − 4 → 3 3 3
→ 3y−6= 2 x−4 → − 2 x3y−2=0

Q3. Descubra o ponto pertencente ao gráfico da função y=−x 25x tal que a reta tangente à curva, que passa por ele, forma, com o eixo das abscissas, um ângulo de 45°. Resolução: Coeficienteangular de uma reta: m = tg α * inclinação da reta tangente: m = tg 45° = 1 * y=−x 25x

m= y ' =−2x5 → −2x5=1 → 2x=4 → x=2
para

x=2 ,

y=−2 25. 2 → y=−410 → y=6

Resposta: Ponto (2 , 6).

Q4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função perpendicular à reta de equação 2y x−5=0 . Resolução: Coeficiente angular da reta 2y x−5=0 :

f  x =x 2−4x1 , sabendo que elaé

2y=−x5 → y=

−x 5 −1  . Logo, m= 2 2 2

.

* Se a reta tangente ao gráfico da função é perpendicular à reta coeficientes angulares das retas é igual a -1. Logo, o coeficiente angular da reta tangente será:

2y x−5=0 , então o produto dos

m T . m=−1 → mT .
*

−1 =−1 → mT =2 2

f  x =x 2−4x1 mT = f '  x =2x−4 → 2x−4=2 → 2x=6 → x=3

para x=3 , f 3=32−4 .31 → f3=−2 Ponto (3 , -2).

* Equação da reta tangente:

y− f  x0 = f '  x 0 . x−x 0  → y−−2=2 . x−3 → y2=2 x−6 → −2 x y8=0

Q5. Encontre os pontos da curva correspondente à função ela, neles, seja paralela à reta y=12 x1 . Resolução:

3 f  x =x −1 de forma que as retas tangentes a

*Para que as retas tangentes à curva sejam paralelas à reta y=12 x1 , os coeficientes...
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