Derivada

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I
V
A
D
A

Índice:

I- A derivada

II- A derivada ao longo do tempo


III- Aplicações

IV- Bibliografia

I- A derivada

A derivada pode ser definida do ponto de vista geométrico da seguinte maneira:

Quando traçamos uma recta secante sobre dois pontos (A e B) de um gráfico podemos obter o seu declive.m=yA-yB xA-xB

Se aproximarmos o ponto A do ponto B, podemos obter uma recta tangente a B. Assim, quando os pontos A e B estiverem muito aproximados, podemos dizer que são um só ponto (xA aproxima-se de xB). A recta secante passa agora a ser tangente.
Com o declive da recta tangente, define-se então a derivada no ponto B que varia consoante a variação da posição de B.
Ou seja, o valor daderivada (positiva, negativa ou zero) varia também com a monotonia do gráfico da função.
Quando o ponto A assume-se como um máximo ou um mínimo da função, a recta tangente é horizontal e por isso a derivada é zero.


m=yA-yB xA-xB=0

Quando o ponto A está posicionado na zona onde o gráfico decresce, a derivada é negativa.

m=yA-yB xA-xB=-m


Quando o ponto A está posicionado nazona onde o gráfico cresce, a derivada é positiva.

m=yA-yB xA-xB=+m

Designa-se por derivada de uma função f no ponto a e representa-se por f'(a).

Designando x – a por h, a derivada de f, no ponto a, também se pode escrever:

A derivada assume-se diferentemente de função para função. A função derivada é a função que faz corresponder a cada ponto do domínio de f com derivada finita o valorda derivada nesse ponto.

A derivada de uma função afim é uma função de grau zero (constante). A função é sempre crescente, a derivada é positiva, igual ao declive da recta.
f:R→R x↪mx+b
f':R→R x↪m

A derivada de uma função constante é zero.
f':R→R
x↪0

Na função quadrática:

f:R→Rx↪ax2+bx+c (a≠0)
f':R→R x↪2ax+b

Na função derivada da função x↪ax2:
f:R→R x↪ax2 (a≠0)
f':R→R x↪2ax

Na função cúbica:

f:R→R x↪ax3+bx2+cx+d (a≠0)
f':R→R x↪3ax2+2bx+c

Na função derivada da função x↪ax3:
f:R→R x↪ax3 (a≠0)
f':R→Rx↪3ax2

Na função racional:

f:R/{0}→R x↪ax (a≠0)

f':R/0→R x↪-ax2 (a≠0)

Regras de derivação

k'=0,k∈R | (-3)=0 |
x'=1 | |
kx'=k, k∈R | (4x)'=4 |
ax +b'=a (a,b ∈R) | 5x-6'=6 |
(x2)'=2x | |
ax2+bx+c'=2ax+b (a≠0) | 2x2-5x-8'=4x-5 |
x3'=3x2 | |
ax3+bx2+c'=3ax2+2bx (a≠0) | 2x3-4x2+7x-2'=6x2-8x+7 |
xn'=nxn-1(n∈N) | x5'=5x4 |
1x'=-1x2 | |
kx'=-kx2 (x≠0) | 6x'=-6x2 |
kx+a'=-k(x+a)2(x≠-a),k,a ∈R | 7x+9'=-7(x+9)2 |

II- A derivada ao longo do tempo

A origem da derivada remonta ao tempo dos gregos associada a problemas geométricos (por exemplo, para determinar uma recta que intersecta uma dada curva num dado ponto) ou a problemas de movimento e velocidade; contudo não foi efectuado umestudo extensivo que clarificasse o seu verdadeiro propósito.
No século XVII retomou-se os trabalhos com a derivada; Fermat com estudos da geometria de curvas contribuiu para o desenvolvimento da definição de derivada de entre outros. Desenvolveu um sistema para determinar os máximos e mínimos de uma função; geometricamente encontrava os pontos onde a tangente à curva não tinha inclinação (decliveigual a zero). Descartes reconheceu a importância da tangente e criou um procedimento de dupla raiz para se encontrar a tangente a uma curva. Assim, e com a ajuda de Frans van Schooten e de Johan Hudde, os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-se conhecidos. O procedimento da dupla raiz foi melhorado por Christiaan Huygens que ao modificar o processo da tangente de Fermat,...
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